Première STI2D · Chapitre 2

Suites numériques

Cours de Première STI2D sur les suites numériques : suites explicites ou par récurrence, suites arithmétiques et géométriques, sens de variation, recherche de seuil par algorithme. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Une production qui grimpe de quelques centaines de pièces chaque jour, une batterie qui perd un pourcentage de charge à chaque heure, un signal qui s’affaiblit de tronçon en tronçon de câble : tous ces phénomènes se mesurent étape par étape, à intervalles réguliers. Une suite numérique est l’outil mathématique qui modélise ces évolutions discrètes. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à reconnaître les deux grandes familles - arithmétique et géométrique -, à calculer n’importe quel terme directement, à décrire le sens de variation et à déterminer un seuil à l’aide d’un algorithme.

Ce que tu sauras faire à la fin

Je sais calculer les premiers termes d’une suite définie de façon explicite ( $u_n = \ldots$ ) ou par récurrence ( $u_{n+1} = \ldots$ ).
Je sais reconnaître une suite arithmétique (on ajoute toujours la même raison) ou géométrique (on multiplie toujours par la même raison).
Je sais utiliser le terme général $u_n = u_0 + nr$ ou $u_n = u_0 \times q^{\,n}$ pour atteindre n’importe quel rang.
Je sais déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique ou géométrique.
Je sais déterminer un seuil (le premier rang qui dépasse une valeur) avec un algorithme à boucle.

À quoi ça sert en STI2D ?

En sciences de l’ingénieur, beaucoup de grandeurs sont mesurées à intervalles réguliers : la tension aux bornes d’un condensateur relevée chaque seconde, la puissance d’un signal après chaque répéteur, le nombre de pièces sorties d’une chaîne chaque jour, la production d’un panneau solaire mois après mois.

Quand l’évolution se fait par paliers plutôt que de façon continue, on ne travaille pas avec une fonction $f(t)$ mais avec une suite $(u_n)$ : à chaque rang $n$ correspond une valeur $u_n$ . Maîtriser les suites, c’est savoir prévoir une valeur future, comparer deux scénarios (deux stratégies de maintenance, deux capteurs) et dimensionner un système (combien de tronçons avant que le signal devienne trop faible ?).

1. Vocabulaire et modes de génération

Suite numérique

Une suite numérique $(u_n)$ est une liste ordonnée de nombres. Chaque nombre de la liste est un terme, repéré par son rang (son numéro) :

$u_0$ est le terme de rang $0$ (souvent le terme de départ) ;
$u_n$ est le terme de rang $n$ ;
$u_{n+1}$ est le terme suivant $u_n$ .

Attention à ne pas confondre le rang $n$ (la position) et le terme $u_n$ (la valeur).

Suite explicite ou suite par récurrence

Il y a deux façons de définir une suite.

Suite explicite : on donne directement $u_n$ en fonction de $n$ . On peut calculer n’importe quel terme sans connaître les précédents. Exemple : $u_n = 3n + 5$ donne $u_0 = 5$ , $u_1 = 8$ , $u_{10} = 35$ .
Suite par récurrence : on donne le premier terme et une relation qui calcule chaque terme à partir du précédent, du type $u_{n+1} = \ldots u_n \ldots$ . Pour atteindre un terme, il faut calculer tous ceux d’avant, de proche en proche. Exemple : $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = u_n + 3$ donne $u_1 = 8$ , $u_2 = 11$ , $u_3 = 14$ .

2. Suites arithmétiques

Suite arithmétique

Une suite $(u_n)$ est arithmétique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ , appelé la raison.

Relation de récurrence : pour tout entier $n$ , $u_{n+1} = u_n + r.$

Concrètement : une grandeur qui augmente (ou diminue) d’une quantité fixe à chaque étape - comme une production qui gagne $250$ pièces par jour - est modélisée par une suite arithmétique.

Terme général d'une suite arithmétique

Si $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ , alors pour tout entier $n$ : $u_n = u_0 + n\,r.$

Cette formule donne directement le terme de rang $n$ , sans calculer les précédents.

Une production qui augmente chaque jour

Une chaîne sort $1\,200$ pièces le premier jour (rang $0$ ), puis $250$ pièces de plus chaque jour. La production est arithmétique : $u_0 = 1\,200$ et $r = 250$ .

Le terme général est $u_n = 1\,200 + 250\,n$ . Au bout de $10$ jours : $u_{10} = 1\,200 + 250 \times 10 = 1\,200 + 2\,500 = 3\,700 \text{ pièces.}$

Sens de variation d'une suite arithmétique

Le sens de variation d’une suite arithmétique ne dépend que du signe de la raison $r$ :

si $r > 0$ , la suite est croissante (chaque terme est plus grand que le précédent) ;
si $r < 0$ , la suite est décroissante ;
si $r = 0$ , la suite est constante.

3. Suites géométriques

Suite géométrique

Une suite $(u_n)$ est géométrique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ (non nul), appelé la raison.

Relation de récurrence : pour tout entier $n$ , $u_{n+1} = u_n \times q.$

Concrètement : une grandeur multipliée par un facteur fixe à chaque étape est géométrique. Une évolution en pourcentage est toujours géométrique : augmenter de $12\,\%$ revient à multiplier par $1{,}12$ ; diminuer de $5\,\%$ revient à multiplier par $0{,}95$ .

Du pourcentage à la raison

Pour transformer une évolution en pourcentage en raison $q$ :

augmenter de $t\,\%$ $\;\to\; q = 1 + \dfrac{t}{100}$ . Par exemple $+12\,\% \to q = 1{,}12$ .
diminuer de $t\,\%$ $\;\to\; q = 1 - \dfrac{t}{100}$ . Par exemple $-5\,\% \to q = 0{,}95$ .

Le facteur multiplicatif $q$ s’appelle aussi le coefficient multiplicatif.

Terme général d'une suite géométrique

Si $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ , alors pour tout entier $n$ : $u_n = u_0 \times q^{\,n}.$

Là encore, cette formule donne directement le terme de rang $n$ .

Une batterie qui se décharge

La charge d’une batterie est de $100\,\%$ au départ (rang $0$ ) et se trouve multipliée par $0{,}9$ chaque heure. La suite est géométrique : $u_0 = 100$ et $q = 0{,}9$ .

Le terme général est $u_n = 100 \times 0{,}9^{\,n}$ . Au bout de $3$ heures : $u_3 = 100 \times 0{,}9^{\,3} = 100 \times 0{,}729 = 72{,}9\,\%.$

Sens de variation d'une suite géométrique (à termes positifs)

Si $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 > 0$ et de raison $q > 0$ , le sens de variation dépend de la position de $q$ par rapport à $1$ :

si $q > 1$ , la suite est croissante (la grandeur augmente) ;
si $0 < q < 1$ , la suite est décroissante (la grandeur s’atténue) ;
si $q = 1$ , la suite est constante.

4. Somme de termes consécutifs

Somme de termes consécutifs

Pour additionner plusieurs termes d’une suite (par exemple un coût total sur plusieurs années), on dispose de deux formules.

Suite arithmétique - la somme de termes consécutifs vaut : $S = (\text{nombre de termes}) \times \dfrac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}.$

Suite géométrique de raison $q \neq 1$ - la somme de $u_0$ jusqu’à $u_n$ vaut : $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}.$

Dans les deux cas, on compte bien tous les termes : de $u_0$ à $u_n$ , il y a $n + 1$ termes.

Coût cumulé d'une maintenance

Un contrat de maintenance coûte $1\,200$ € la première année (rang $0$ ), avec $200$ € de plus chaque année : coûts arithmétiques $u_0 = 1\,200$ , $r = 200$ . Sur $8$ ans (rangs $0$ à $7$ ), le dernier coût est $u_7 = 1\,200 + 200 \times 7 = 2\,600$ €.

Le coût total est : $S = 8 \times \dfrac{1\,200 + 2\,600}{2} = 8 \times 1\,900 = 15\,200 \text{ €.}$

5. Recherche d’un seuil par algorithme

Déterminer un seuil avec une boucle

Un seuil est le premier rang $n$ pour lequel la suite dépasse (ou passe sous) une valeur fixée $S$ . Comme on ne sait pas à l’avance combien d’étapes il faut, on teste les termes un par un dans une boucle « tant que ».

Initialiser le terme à $u_0$ et le rang $n$ à $0$ .
Tant que la condition d’arrêt n’est pas atteinte, passer au terme suivant (multiplier par $q$ ou ajouter $r$ ) et augmenter $n$ de $1$ .
À la sortie de la boucle, $n$ est le seuil cherché.

En pseudo-code, pour le premier rang où $u_n$ dépasse $50\,000$ avec $u_0 = 20\,000$ et $q = 1{,}12$ :

u ← 20000
n ← 0
Tant que u ⩽ 50000 :
    u ← u × 1,12
    n ← n + 1
Afficher n

Le mois où la chaîne dépasse 50 000 abonnés

Une chaîne compte $20\,000$ abonnés (mois $0$ ) et gagne $12\,\%$ d’abonnés chaque mois : $u_0 = 20\,000$ , $q = 1{,}12$ , donc $u_n = 20\,000 \times 1{,}12^{\,n}$ .

On calcule de proche en proche jusqu’à dépasser le seuil : $u_8 = 20\,000 \times 1{,}12^{\,8} \approx 49\,519 \quad (\text{encore sous } 50\,000),$ $u_9 = 20\,000 \times 1{,}12^{\,9} \approx 55\,462 \quad (\text{au-dessus de } 50\,000).$

La chaîne dépasse $50\,000$ abonnés au cours du 9e mois.

Les pièges à éviter

Confondre raison ajoutée et raison multipliée. FAUX : « la charge perd $10\,\%$ par heure, donc je soustrais $10$ à chaque fois. » VRAI : une évolution en pourcentage est géométrique : on multiplie par $q = 0{,}9$ , on n’enlève pas une quantité fixe.
Mal placer l’exposant. FAUX : écrire $u_n = u_0 \times q \times n$ . VRAI : c’est une puissance, $u_n = u_0 \times q^{\,n}$ (le facteur $q$ est utilisé $n$ fois).
Décaler le rang. FAUX : croire que $u_{10}$ correspond toujours à « $10$ étapes » quand on a démarré à $u_1$ . VRAI : si le premier terme est $u_0$ , alors $u_{10}$ correspond bien à $10$ étapes ; vérifie toujours à quel rang commence ta suite.
Oublier de compter le bon nombre de termes dans une somme. FAUX : penser qu’il y a $n$ termes de $u_0$ à $u_n$ . VRAI : il y en a $n + 1$ (on compte le terme de rang $0$ ).

Le bon réflexe pour identifier la nature d'une suite

Calcule la différence $u_1 - u_0$ et le quotient $\dfrac{u_1}{u_0}$ entre les premiers termes, puis vérifie sur le couple suivant :

si la différence est toujours la même $\to$ suite arithmétique (cette différence est $r$ ) ;
si le quotient est toujours le même $\to$ suite géométrique (ce quotient est $q$ ).

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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La cagnotte de Robux qui grossit chaque semaine

Pour s'acheter un gros pack sur Roblox, Lina met de côté ses Robux. Cette semaine (semaine de rang $0$ ), elle possède déjà $80$ Robux. Ensuite, grâce à ce qu'elle gagne en jouant, sa cagnotte augmente de $45$ Robux chaque semaine. On note $u_n$ le nombre de Robux qu'elle possède la semaine de rang $n$ , avec $u_0 = 80$ .

1. Justifier que la suite $(u_n)$ est arithmétique et donner sa raison.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ , puis préciser son sens de variation.
3. Le pack qu'elle vise coûte $700$ Robux. Combien possédera-t-elle au bout de $14$ semaines (semaine de rang $14$ ) ? Aura-t-elle assez ?

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La charge d'une batterie multipliee chaque heure

Lors d'un test, on mesure le niveau de charge d'une batterie en veille. Au départ, la charge est de $100\,\%$ . Chaque heure, le niveau de charge est multiplié par $0{,}9$ . On note $u_n$ la charge (en pourcentage) après $n$ heures, avec $u_0 = 100$ .

1. Déterminer la nature de la suite $(u_n)$ et sa raison.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
3. Calculer la charge après $3$ heures, puis après $5$ heures (arrondir au dixième).

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La production d'une usine qui augmente chaque jour

Une usine met en route une nouvelle chaîne d'assemblage. Le premier jour, elle produit $1\,200$ pièces. Grâce aux réglages, la production augmente ensuite de $250$ pièces chaque jour. On note $u_n$ le nombre de pièces produites le jour de rang $n$ , avec $u_0 = 1\,200$ pour le premier jour.

1. Justifier que la suite $(u_n)$ est arithmétique et donner sa raison.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
3. Calculer le nombre de pièces produites le jour de rang $10$ .

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L'attenuation d'un signal le long d'un cable

Un signal est transmis dans un long câble découpé en tronçons identiques. À chaque tronçon, le signal perd $5\,\%$ de sa puissance. À l'entrée du câble (tronçon $0$ ), la puissance vaut $100\,\%$ . On note $u_n$ la puissance (en pourcentage de la puissance initiale) après $n$ tronçons, avec $u_0 = 100$ .

1. Montrer que $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
3. Le récepteur ne fonctionne plus dès que la puissance passe sous $50\,\%$ . Déterminer le premier tronçon à partir duquel le signal est trop faible.

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La tension d'un condensateur qui se decharge

Dans un atelier d'électronique, on étudie la décharge d'un condensateur. On relève la tension à ses bornes à intervalles réguliers (toutes les secondes). À l'instant de rang $0$ , la tension vaut $12$ V. Chaque seconde, la tension est multipliée par $0{,}8$ . On note $u_n$ la tension (en volts) à l'instant de rang $n$ , avec $u_0 = 12$ .

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique, donner sa raison et son sens de variation.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
3. Un voyant témoin s'éteint dès que la tension passe sous $3$ V. Écrire un algorithme qui détermine l'instant où le voyant s'éteint, puis donner la réponse.

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Le nombre d'abonnes d'une chaine video

Une chaîne vidéo compte $20\,000$ abonnés ce mois-ci. D'après les statistiques, le nombre d'abonnés augmente de $12\,\%$ chaque mois. On note $u_n$ le nombre d'abonnés au mois de rang $n$ , avec $u_0 = 20\,000$ pour le mois actuel.

1. Déterminer la nature de la suite $(u_n)$ et sa raison.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
3. On souhaite savoir au cours de quel mois la chaîne dépassera $50\,000$ abonnés. Écrire un algorithme qui détermine ce mois, puis donner la réponse.

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Bonus

Comparer deux strategies de maintenance sur 8 ans

Une entreprise doit choisir entre deux contrats pour entretenir une machine pendant $8$ ans (années de rang $0$ à $7$ ).

- Contrat A (préventif) : le coût est de $1\,200$ € la première année, puis augmente de $200$ € chaque année. On note $a_n$ le coût de l'année de rang $n$ , avec $a_0 = 1\,200$ .
- Contrat B (curatif) : le coût est de $800$ € la première année, puis est multiplié par $1{,}25$ chaque année. On note $b_n$ le coût de l'année de rang $n$ , avec $b_0 = 800$ .

1. Préciser la nature de chaque suite, sa raison, et son terme général.
2. Calculer le coût de la dernière année (rang $7$ ) pour chaque contrat.
3. Calculer le coût total sur les $8$ ans pour chaque contrat, puis indiquer le contrat le plus avantageux.

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Les revenus mensuels d'un jeu mobile

Un petit studio sort un jeu mobile gratuit financé par la pub. Le premier mois (mois de rang $0$ ), le jeu rapporte $4\,000$ €. Mais comme le jeu vieillit, les revenus baissent ensuite de $8\,\%$ chaque mois. On note $u_n$ le revenu (en euros) du mois de rang $n$ , avec $u_0 = 4\,000$ .

1. Justifier que la suite $(u_n)$ est géométrique, donner sa raison, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
2. Calculer le revenu du mois de rang $6$ (arrondir au centime).
3. Calculer le revenu total rapporté par le jeu sur sa première année, c'est-à-dire des mois de rang $0$ à $11$ (arrondir à l'euro).
4. Le studio prévoit d'arrêter d'investir dans le jeu dès que le revenu mensuel passe sous $1\,500$ €. Déterminer le premier mois concerné.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Comment reconnaître une suite arithmétique ou géométrique ?

On regarde comment on passe d'un terme au suivant. Si on ajoute toujours le même nombre, la suite est arithmétique et ce nombre est la raison. Si on multiplie toujours par le même nombre, la suite est géométrique et ce nombre est la raison. Par exemple une production qui augmente de 250 pièces chaque jour est arithmétique, et une tension multipliée par 0,9 chaque heure est géométrique.

Quelle est la formule du terme général d'une suite arithmétique ou géométrique ?

Pour une suite arithmétique de premier terme u indice 0 et de raison r, le terme de rang n vaut u indice 0 plus n fois r. Pour une suite géométrique de premier terme u indice 0 et de raison q, le terme de rang n vaut u indice 0 multiplié par q puissance n. Ces deux formules donnent directement n'importe quel terme sans calculer tous les précédents.

À quoi sert un seuil et comment le trouver ?

Un seuil est la valeur à partir de laquelle une suite dépasse ou passe sous un nombre fixé, par exemple le mois où une chaîne dépasse 50 000 abonnés. On le cherche en testant les termes un par un avec une boucle dans un algorithme, jusqu'à ce que la condition soit remplie. La réponse est le rang n trouvé.