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Rêves Vision
Première STI2D

La tension d'un condensateur qui se decharge

Énoncé

Dans un atelier d'électronique, on étudie la décharge d'un condensateur. On relève la tension à ses bornes à intervalles réguliers (toutes les secondes). À l'instant de rang 00, la tension vaut 1212 V. Chaque seconde, la tension est multipliée par 0,80{,}8. On note unu_n la tension (en volts) à l'instant de rang nn, avec u0=12u_0 = 12.

1. Montrer que la suite (un)(u_n) est géométrique, donner sa raison et son sens de variation.
2. Exprimer unu_n en fonction de nn.
3. Un voyant témoin s'éteint dès que la tension passe sous 33 V. Écrire un algorithme qui détermine l'instant où le voyant s'éteint, puis donner la réponse.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Multiplier toujours par le même nombre 0,80{,}8, c'est le signe d'une certaine nature de suite : laquelle ?
  2. La raison est q=0,8q = 0{,}8. Comme 0<q<10 < q < 1, la suite est décroissante : la tension baisse bien à chaque seconde.
  3. Pour la question 3, calcule les termes un par un (boucle « tant que un⩾3u_n \geqslant 3 ») jusqu'à passer sous 33 : compare u6u_6 et u7u_7.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître la nature de la suite et son sens de variation

    Chaque seconde, la tension est multipliée par le même nombre 0,80{,}8. On passe donc d'un terme au suivant en multipliant toujours par 0,80{,}8, ce qui s'écrit un+1=un×0,8u_{n+1} = u_n \times 0{,}8. La suite (un)(u_n) est donc géométrique, de raison q=0,8q = 0{,}8. Comme u0=12>0u_0 = 12 > 0 et 0<q<10 < q < 1, la suite est décroissante : c'est cohérent avec un condensateur qui se décharge.

  2. 2. Écrire le terme général

    Pour une suite géométrique de premier terme u0u_0 et de raison qq, le terme général est un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n}. Ici u0=12u_0 = 12 et q=0,8q = 0{,}8, donc : un=12×0,8 n.u_n = 12 \times 0{,}8^{\,n}.

  3. 3. Écrire l'algorithme de recherche du seuil

    On part du premier terme et on multiplie par 0,80{,}8 tant que la tension reste supérieure ou égale à 33 V, en comptant les secondes :
    ```
    u ← 12
    n ← 0
    Tant que u ⩾ 3 :
    u ← u × 0,8
    n ← n + 1
    Afficher n
    ```
    À la sortie de la boucle, nn contient le rang du premier instant où la tension passe sous 33 V.

  4. 4. Exécuter et conclure

    On calcule de proche en proche : u6=12×0,8 6≈3,15u_6 = 12 \times 0{,}8^{\,6} \approx 3{,}15 V (encore au-dessus de 33 V), puis u7=12×0,8 7≈2,52u_7 = 12 \times 0{,}8^{\,7} \approx 2{,}52 V (sous 33 V). L'algorithme s'arrête donc à n=7n = 7. Le voyant témoin s'éteint à l'instant de rang 77, soit au bout de 77 secondes.
Réponse finale
un=12×0,8 n;un<3 pour la premieˋre fois au rang n=7u_n = 12 \times 0{,}8^{\,n} \quad ; \quad u_n < 3 \text{ pour la première fois au rang } n = 7
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