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Comparer deux strategies de maintenance sur 8 ans

Énoncé

Une entreprise doit choisir entre deux contrats pour entretenir une machine pendant 88 ans (années de rang 00 à 77).

- Contrat A (préventif) : le coût est de 1 2001\,200 € la première année, puis augmente de 200200 € chaque année. On note ana_n le coût de l'année de rang nn, avec a0=1 200a_0 = 1\,200.
- Contrat B (curatif) : le coût est de 800800 € la première année, puis est multiplié par 1,251{,}25 chaque année. On note bnb_n le coût de l'année de rang nn, avec b0=800b_0 = 800.

1. Préciser la nature de chaque suite, sa raison, et son terme général.
2. Calculer le coût de la dernière année (rang 77) pour chaque contrat.
3. Calculer le coût total sur les 88 ans pour chaque contrat, puis indiquer le contrat le plus avantageux.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour le contrat A on ajoute toujours 200200 : suite arithmétique. Pour le contrat B on multiplie toujours par 1,251{,}25 : suite géométrique.
  2. Les termes généraux sont an=1 200+200 na_n = 1\,200 + 200\,n et bn=800×1,25 nb_n = 800 \times 1{,}25^{\,n}. Attention : de l'année 00 à l'année 77, il y a 88 termes.
  3. Somme arithmétique : SA=8×a0+a72S_A = 8 \times \dfrac{a_0 + a_7}{2}. Somme géométrique : SB=b0×1−1,25 81−1,25S_B = b_0 \times \dfrac{1 - 1{,}25^{\,8}}{1 - 1{,}25}. Compare ensuite SAS_A et SBS_B.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Identifier la nature des deux suites

    Contrat A : le coût augmente de 200200 € chaque année, on ajoute toujours 200200, donc an+1=an+200a_{n+1} = a_n + 200 : suite arithmétique de raison r=200r = 200. Son terme général est an=1 200+200 na_n = 1\,200 + 200\,n.

    Contrat B : le coût est multiplié par 1,251{,}25 chaque année, donc bn+1=bn×1,25b_{n+1} = b_n \times 1{,}25 : suite géométrique de raison q=1,25q = 1{,}25. Son terme général est bn=800×1,25 nb_n = 800 \times 1{,}25^{\,n}.

  2. 2. Calculer le coût de la dernière année (rang 7)

    Contrat A : a7=1 200+200×7=1 200+1 400=2 600a_7 = 1\,200 + 200 \times 7 = 1\,200 + 1\,400 = 2\,600 €.

    Contrat B : b7=800×1,25 7≈800×4,7684≈3 814,70b_7 = 800 \times 1{,}25^{\,7} \approx 800 \times 4{,}7684 \approx 3\,814{,}70 €. La huitième année, le contrat B coûte déjà plus cher que le contrat A.

  3. 3. Calculer le coût total du contrat A

    Sur 88 années (rangs 00 à 77, soit 88 termes), on utilise la somme arithmétique : SA=8×a0+a72=8×1 200+2 6002=8×3 8002=8×1 900=15 200S_A = 8 \times \dfrac{a_0 + a_7}{2} = 8 \times \dfrac{1\,200 + 2\,600}{2} = 8 \times \dfrac{3\,800}{2} = 8 \times 1\,900 = 15\,200 €.

  4. 4. Calculer le coût total du contrat B

    On somme la suite géométrique de b0b_0 à b7b_7 (88 termes), avec q=1,25≠1q = 1{,}25 \neq 1 : SB=b0×1−q 81−q=800×1−1,25 81−1,25.S_B = b_0 \times \dfrac{1 - q^{\,8}}{1 - q} = 800 \times \dfrac{1 - 1{,}25^{\,8}}{1 - 1{,}25}. Comme 1,25 8≈5,96051{,}25^{\,8} \approx 5{,}9605, on a SB≈800×1−5,9605−0,25=800×−4,9605−0,25=800×19,8419≈15 873,49S_B \approx 800 \times \dfrac{1 - 5{,}9605}{-0{,}25} = 800 \times \dfrac{-4{,}9605}{-0{,}25} = 800 \times 19{,}8419 \approx 15\,873{,}49 €.

  5. 5. Comparer et conclure

    On compare les deux coûts totaux sur 88 ans : SA≈15 200S_A \approx 15\,200 € contre SB≈15 873,49S_B \approx 15\,873{,}49 €. Comme 15 200<15 873,4915\,200 < 15\,873{,}49, le contrat A revient moins cher. Sur 88 ans, le contrat A (préventif) est le plus avantageux : il coûte environ 673673 € de moins que le contrat B.
Réponse finale
SA=15 200 €<SB≈15 873,49 €⇒le contrat A est le plus avantageuxS_A = 15\,200 \ \text{€} \quad < \quad S_B \approx 15\,873{,}49 \ \text{€} \quad \Rightarrow \quad \text{le contrat A est le plus avantageux}
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