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Rêves Vision
Première STI2D

Les revenus mensuels d'un jeu mobile

Énoncé

Un petit studio sort un jeu mobile gratuit financé par la pub. Le premier mois (mois de rang 00), le jeu rapporte 4 0004\,000 €. Mais comme le jeu vieillit, les revenus baissent ensuite de 8 %8\,\% chaque mois. On note unu_n le revenu (en euros) du mois de rang nn, avec u0=4 000u_0 = 4\,000.

1. Justifier que la suite (un)(u_n) est géométrique, donner sa raison, puis exprimer unu_n en fonction de nn.
2. Calculer le revenu du mois de rang 66 (arrondir au centime).
3. Calculer le revenu total rapporté par le jeu sur sa première année, c'est-à-dire des mois de rang 00 à 1111 (arrondir à l'euro).
4. Le studio prévoit d'arrêter d'investir dans le jeu dès que le revenu mensuel passe sous 1 5001\,500 €. Déterminer le premier mois concerné.
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  1. Baisser de 8 %8\,\%, ce n'est pas enlever 88 : c'est multiplier par un coefficient. Diminuer de 8 %8\,\% revient à multiplier par q=1−8100q = 1 - \dfrac{8}{100}.
  2. Pour la somme géométrique de u0u_0 à u11u_{11}, il y a 1212 termes : utilise S=u0×1−q 121−qS = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\,12}}{1 - q} avec q=0,92q = 0{,}92.
  3. Pour la question 4, calcule les termes un par un (la suite est décroissante) jusqu'à passer sous 1 5001\,500 : compare u11u_{11} et u12u_{12}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître la nature de la suite et écrire le terme général

    Baisser de 8 %8\,\%, c'est garder 92 %92\,\% du revenu du mois précédent, donc multiplier par 1−8100=0,921 - \dfrac{8}{100} = 0{,}92. On a un+1=un×0,92u_{n+1} = u_n \times 0{,}92, avec le même facteur chaque mois. La suite (un)(u_n) est donc géométrique, de raison q=0,92q = 0{,}92. Avec u0=4 000u_0 = 4\,000, son terme général est : un=4 000×0,92 n.u_n = 4\,000 \times 0{,}92^{\,n}.

  2. 2. Calculer le revenu du mois de rang 6

    On remplace nn par 66 dans la formule : u6=4 000×0,92 6.u_6 = 4\,000 \times 0{,}92^{\,6}. Comme 0,92 6≈0,6063550{,}92^{\,6} \approx 0{,}606355, on obtient u6≈4 000×0,606355≈2 425,42u_6 \approx 4\,000 \times 0{,}606355 \approx 2\,425{,}42 €. Le mois de rang 66, le jeu rapporte environ 2 425,422\,425{,}42 €.

  3. 3. Calculer le revenu total sur la première année

    Des mois de rang 00 à 1111, il y a 11+1=1211 + 1 = 12 termes. On utilise la somme d'une suite géométrique de raison q=0,92≠1q = 0{,}92 \neq 1 : S=u0×1−q 121−q=4 000×1−0,92 121−0,92.S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\,12}}{1 - q} = 4\,000 \times \dfrac{1 - 0{,}92^{\,12}}{1 - 0{,}92}. Comme 0,92 12≈0,3676660{,}92^{\,12} \approx 0{,}367666, on a S≈4 000×1−0,3676660,08=4 000×0,6323340,08=4 000×7,90417≈31 616,68S \approx 4\,000 \times \dfrac{1 - 0{,}367666}{0{,}08} = 4\,000 \times \dfrac{0{,}632334}{0{,}08} = 4\,000 \times 7{,}90417 \approx 31\,616{,}68 €, soit environ 31 61731\,617 € arrondi à l'euro. Sur sa première année, le jeu rapporte environ 31 61731\,617 € au total.

  4. 4. Déterminer le premier mois où le revenu passe sous 1 500 €

    On cherche le premier rang nn tel que un<1 500u_n < 1\,500. Comme 0<q<10 < q < 1, la suite est décroissante : on calcule de proche en proche. u11=4 000×0,92 11≈1 598,55u_{11} = 4\,000 \times 0{,}92^{\,11} \approx 1\,598{,}55 € (encore au-dessus de 1 5001\,500), puis u12=4 000×0,92 12≈1 470,67u_{12} = 4\,000 \times 0{,}92^{\,12} \approx 1\,470{,}67 € (sous 1 5001\,500). Le premier rang qui passe sous le seuil est donc n=12n = 12. Le studio arrête d'investir au mois de rang 1212, le premier où le revenu mensuel passe sous 1 5001\,500 €.
Réponse finale
un=4 000×0,92 n;u6≈2 425,42 €;S≈31 617 €;un<1 500 au rang n=12u_n = 4\,000 \times 0{,}92^{\,n} \quad ; \quad u_6 \approx 2\,425{,}42 \ \text{€} \quad ; \quad S \approx 31\,617 \ \text{€} \quad ; \quad u_n < 1\,500 \text{ au rang } n = 12
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