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Rêves Vision
Première STI2D

Cosinus et sinus d'angles associés (phase d'un signal)

Énoncé

L'étude d'un signal électrique fait apparaître les phases 5π6\dfrac{5\pi}{6}, −π6-\dfrac{\pi}{6} et 7π6\dfrac{7\pi}{6}. En utilisant l'angle de référence π6\dfrac{\pi}{6} et les formules des angles associés, calculer le cosinus et le sinus de chacune de ces phases.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Chaque phase s'écrit à partir de π6\dfrac{\pi}{6} : repère si c'est π−x\pi - x, −x-x ou π+x\pi + x.
  2. Rappelle-toi les valeurs de référence : cos⁡(π6)=32\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡(π6)=12\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}.
  3. Pour π−x\pi - x : le sinus est conservé, le cosinus change de signe. Pour −x-x : le cosinus est conservé, le sinus change de signe.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. La phase 5 pi sur 6

    On écrit 5π6=π−π6\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6} : c'est un angle associé de la forme π−x\pi - x avec x=π6x = \dfrac{\pi}{6}. D'après les formules : cos⁡(π−x)=−cos⁡(x)\cos(\pi - x) = -\cos(x) et sin⁡(π−x)=sin⁡(x)\sin(\pi - x) = \sin(x). Donc cos⁡(5π6)=−cos⁡(π6)=−32\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡(5π6)=sin⁡(π6)=12\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}.

  2. 2. La phase moins pi sur 6

    Ici la phase est directement de la forme −x-x avec x=π6x = \dfrac{\pi}{6}. D'après les formules : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos(-x) = \cos(x) et sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin(-x) = -\sin(x). Donc cos⁡(−π6)=cos⁡(π6)=32\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡(−π6)=−sin⁡(π6)=−12\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}.

  3. 3. La phase 7 pi sur 6

    On écrit 7π6=π+π6\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6} : c'est un angle associé de la forme π+x\pi + x avec x=π6x = \dfrac{\pi}{6}. D'après les formules : cos⁡(π+x)=−cos⁡(x)\cos(\pi + x) = -\cos(x) et sin⁡(π+x)=−sin⁡(x)\sin(\pi + x) = -\sin(x). Donc cos⁡(7π6)=−cos⁡(π6)=−32\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡(7π6)=−sin⁡(π6)=−12\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}.

  4. 4. Conclure

    On peut vérifier les signes en plaçant mentalement chaque point sur le cercle : 5π6\dfrac{5\pi}{6} est en haut à gauche (cosinus négatif, sinus positif), −π6-\dfrac{\pi}{6} en bas à droite (cosinus positif, sinus négatif), 7π6\dfrac{7\pi}{6} en bas à gauche (les deux négatifs). On obtient cos⁡(5π6)=−32\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡(5π6)=12\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} ; cos⁡(−π6)=32\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡(−π6)=−12\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} ; cos⁡(7π6)=−32\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡(7π6)=−12\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}.
Réponse finale
cos⁡(5π6)=−32, sin⁡(5π6)=12 ; cos⁡(−π6)=32, sin⁡(−π6)=−12 ; cos⁡(7π6)=−32, sin⁡(7π6)=−12\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \ ; \ \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} \ ; \ \cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}
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