Première STI2D · Chapitre 6

Trigonométrie

Cours de Première STI2D sur la trigonométrie : radian, enroulement de la droite, cercle trigonométrique, cosinus et sinus d'un réel, valeurs remarquables et angles associés. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

En Première STI2D, on quitte les angles d’un triangle pour décrire des phénomènes qui tournent ou qui oscillent : la position du bras d’un robot, la phase d’un signal électrique, la rotation d’une pale d’éolienne. Pour cela, on enroule la droite des réels autour d’un cercle, on mesure les angles en radians, et on définit le cosinus et le sinus d’un nombre réel quelconque.

Ce que tu sauras faire à la fin

Je sais convertir un angle des degrés aux radians et inversement.
Je sais placer le point image d’un réel sur le cercle trigonométrique.
Je sais lire et utiliser le cosinus et le sinus d’un réel.
Je connais les valeurs remarquables ( $0$ , $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{\pi}{3}$ , $\frac{\pi}{2}$ ).
Je sais relier les angles associés ( $-x$ , $\pi - x$ , $\pi + x$ ) à l’angle $x$ .

À quoi ça sert vraiment ?

Dès qu’un appareil répète quelque chose au cours du temps, la trigonométrie entre en jeu. La tension du secteur, par exemple, n’est pas constante : elle varie comme $u(t) = U_{\max}\cos(\omega t + \varphi)$ . La pale d’une éolienne, le bras d’un robot, l’aiguille d’un capteur de position : tout ce qui tourne se repère par un angle, et le radian est l’unité naturelle pour mesurer ces rotations. Maîtriser le cercle trigonométrique, c’est se donner les outils pour décrire un signal périodique.

Le radian

Le radian est une unité de mesure des angles. Un angle de 1 radian intercepte, sur un cercle de rayon $1$ , un arc de longueur $1$ .

Comme le périmètre d’un cercle de rayon $1$ vaut $2\pi$ , un tour complet ( $360°$ ) mesure $2\pi$ radians, et un angle plat ( $180°$ ) mesure $\pi$ radians.

Conversion entre degrés et radians

La mesure en degrés et la mesure en radians d’un même angle sont proportionnelles : $\frac{\text{angle en degrés}}{180} = \frac{\text{angle en radians}}{\pi}.$

On en déduit les deux formules de conversion :

des degrés vers les radians : on multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$ ;
des radians vers les degrés : on multiplie par $\dfrac{180}{\pi}$ .

Quelques conversions à connaître

$45° = 45 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4} \qquad 90° = \frac{\pi}{2} \qquad 60° = \frac{\pi}{3} \qquad 30° = \frac{\pi}{6}$

Et dans l’autre sens : $\frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = \frac{2 \times 180}{3} = 120°.$

Le réflexe des angles usuels

Retiens d’abord la « brique de base » : $180° = \pi$ rad. Tous les angles usuels s’en déduisent en partageant $\pi$ : $\frac{\pi}{2} = 90° \qquad \frac{\pi}{3} = 60° \qquad \frac{\pi}{4} = 45° \qquad \frac{\pi}{6} = 30°.$ Plus le dénominateur est grand, plus l’angle est petit : $\frac{\pi}{6}$ est le plus petit, $\frac{\pi}{2}$ le plus grand.

Le cercle trigonométrique et l’enroulement

Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre l’origine $O$ du repère et de rayon $1$ , orienté dans le sens direct (le sens inverse des aiguilles d’une montre).

On part du point $I(1\,;0)$ et on enroule la droite des réels autour de ce cercle : à chaque réel $x$ on associe un unique point $M$ du cercle, appelé point image de $x$ . Le réel $x$ représente alors la longueur de l’arc parcouru depuis $I$ (donc aussi la mesure en radians de l’angle $\widehat{IOM}$ ).

Sens de l'enroulement et plusieurs réels pour un même point

Si $x > 0$ , on tourne dans le sens direct (inverse des aiguilles d’une montre).
Si $x < 0$ , on tourne dans le sens indirect (celui des aiguilles d’une montre).
Un tour complet vaut $2\pi$ : les réels $x$ et $x + 2\pi$ (et plus généralement $x + 2k\pi$ avec $k$ entier) ont le même point image.

Par exemple, $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{3}$ pointent vers le même point du cercle.

Cosinus et sinus d’un réel

Cosinus et sinus d'un nombre réel

Soit $x$ un réel et $M$ son point image sur le cercle trigonométrique. On définit :

le cosinus de $x$ , noté $\cos(x)$ , comme l’abscisse du point $M$ ;
le sinus de $x$ , noté $\sin(x)$ , comme l’ordonnée du point $M$ .

Autrement dit, le point image a pour coordonnées $M\big(\cos(x)\,;\sin(x)\big)$ .

Premières propriétés

Comme $M$ est sur un cercle de rayon $1$ , le cosinus et le sinus sont toujours compris entre $-1$ et $1$ : $-1 \leq \cos(x) \leq 1 \qquad \text{et} \qquad -1 \leq \sin(x) \leq 1.$

Le signe dépend du quart de cercle où se trouve $M$ : le cosinus (abscisse) est positif à droite de l’axe vertical, négatif à gauche ; le sinus (ordonnée) est positif au-dessus de l’axe horizontal, négatif en dessous.

Relation fondamentale de la trigonométrie

Pour tout nombre réel $x$ : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1.$

L’écriture $\cos^2(x)$ signifie $\big(\cos(x)\big)^2$ . Cette relation découle directement du fait que le point image est sur le cercle de rayon $1$ .

Calculer un cosinus connaissant le sinus (ou l'inverse)

On connaît $\sin(x)$ et on cherche $\cos(x)$ (ou l’inverse).

Partir de la relation fondamentale $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ .
Isoler le carré cherché : $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$ .
Calculer la valeur, puis prendre la racine carrée.
Choisir le signe ( $+$ ou $-$ ) selon la position de $M$ sur le cercle.

Exemple : si $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$ et que $M$ est dans le quart en haut à gauche (cosinus négatif), alors $\cos^2(x) = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ , donc $\cos(x) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Les valeurs remarquables

Cosinus et sinus des angles remarquables

Ces valeurs sont à connaître par cœur. Elles correspondent aux points images les plus utilisés du cercle.

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos(x)$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\sin(x)$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$

Mémoriser le tableau avec des racines

Écris les cosinus dans cet ordre : $\dfrac{\sqrt{4}}{2}$ , $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\dfrac{\sqrt{1}}{2}$ , $\dfrac{\sqrt{0}}{2}$ pour $x = 0,\ \frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{2}$ . Comme $\sqrt{4} = 2$ et $\sqrt{1} = 1$ , on retrouve $1$ , $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\dfrac{1}{2}$ , $0$ . Pour le sinus, c’est exactement le tableau lu à l’envers (les racines vont de $0$ à $4$ ).

Les angles associés

Cosinus et sinus des angles associés

À partir de l’angle $x$ , on lit sur le cercle (par symétrie) les valeurs des angles associés. Pour tout réel $x$ :

$\cos(-x) = \cos(x) \qquad\qquad \sin(-x) = -\sin(x)$ $\cos(\pi - x) = -\cos(x) \qquad\quad \sin(\pi - x) = \sin(x)$ $\cos(\pi + x) = -\cos(x) \qquad\quad \sin(\pi + x) = -\sin(x)$

Lire un angle associé sur le cercle

Plutôt que d’apprendre les six formules par cœur, retiens les symétries du point image $M$ d’angle $x$ :

$-x$ : symétrique de $M$ par rapport à l’axe horizontal (axe des abscisses), donc le cosinus ne change pas et le sinus change de signe.
$\pi - x$ : symétrique de $M$ par rapport à l’axe vertical (axe des ordonnées), donc le sinus ne change pas et le cosinus change de signe.
$\pi + x$ : symétrique de $M$ par rapport à l’origine $O$ , donc les deux changent de signe.

Calculer une valeur avec un angle associé

Calculons $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ . On remarque que $\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$ , c’est donc un angle associé de $\dfrac{\pi}{3}$ de la forme $\pi - x$ : $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}.$ De même, $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Les pièges à éviter

Oublier de convertir avant d’utiliser le cercle. En radians, une calculatrice règle aussi le mode : un calcul de $\cos(90)$ en mode degrés ne donne pas du tout la même chose que $\cos(90)$ en mode radians. Sur le cercle, on travaille toujours en radians.
Confondre cosinus et sinus. On lit souvent FAUX : « $\cos(x)$ , c’est l’ordonnée ». VRAI : le cosinus est l’abscisse (horizontale, comme la lettre « c » de « côté », l’axe de gauche-droite) et le sinus est l’ordonnée (verticale).
Se tromper de signe pour $\sin(-x)$ . On écrit parfois FAUX : $\sin(-x) = \sin(x)$ . VRAI : $\sin(-x) = -\sin(x)$ (le sinus change de signe), alors que le cosinus, lui, ne change pas : $\cos(-x) = \cos(x)$ .
Croire que $\cos^2(x) = \cos(x^2)$ . FAUX : ces deux écritures n’ont rien à voir. VRAI : $\cos^2(x)$ signifie $\big(\cos(x)\big)^2$ , c’est-à-dire le cosinus que l’on élève ensuite au carré.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Convertir des angles en radians (bras robotisé)

Sur une chaîne d'assemblage, un bras robotisé est programmé en radians, mais sa notice donne les positions en degrés. Convertir en radians chacune des positions angulaires suivantes : $a = 45°$ , $b = 120°$ et $c = 270°$ . Donner les résultats sous forme d'une fraction de $\pi$ .

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Convertir des radians en degrés (atelier)

Dans un atelier, une machine à commande numérique programme ses rotations en radians, mais l'opérateur les vérifie en degrés sur le plan. Convertir en degrés chacune des rotations suivantes : $a = \dfrac{\pi}{6}$ rad, $b = \dfrac{3\pi}{4}$ rad et $c = \dfrac{5\pi}{3}$ rad.

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Placer des points et lire cosinus et sinus

On considère le cercle trigonométrique de centre $O$ et de rayon $1$ , et les réels $x_1 = \dfrac{\pi}{3}$ , $x_2 = \dfrac{\pi}{2}$ et $x_3 = \pi$ . Pour chacun, indiquer la position de son point image sur le cercle, puis donner son cosinus et son sinus.

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Calculer un cosinus à partir d'un sinus (capteur)

Un capteur de position renvoie l'angle $x$ d'une pièce mobile. À un instant donné, l'électronique mesure $\sin(x) = \dfrac{3}{5}$ , et un voyant indique que le point image de $x$ se situe dans le quart en haut à gauche du cercle trigonométrique (le cosinus y est négatif). En utilisant la relation fondamentale de la trigonométrie, calculer la valeur exacte de $\cos(x)$ .

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Cosinus et sinus d'angles associés (phase d'un signal)

L'étude d'un signal électrique fait apparaître les phases $\dfrac{5\pi}{6}$ , $-\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{7\pi}{6}$ . En utilisant l'angle de référence $\dfrac{\pi}{6}$ et les formules des angles associés, calculer le cosinus et le sinus de chacune de ces phases.

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Résoudre une équation avec un cosinus

Résoudre l'équation $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ sur l'intervalle $[0\,;2\pi]$ . On donnera toutes les solutions de cet intervalle.

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Bonus

Position angulaire d'une éolienne au cours du temps

Une pale d'éolienne tourne à vitesse constante. On repère sa position par l'angle $\theta(t) = \dfrac{\pi}{15}\,t$ (en radians), où $t$ est le temps en secondes, $\theta(0) = 0$ correspondant à la pale horizontale vers la droite. Un capteur déclenche une mesure chaque fois que $\cos\big(\theta(t)\big) = \dfrac{1}{2}$ . Déterminer la durée d'un tour complet, puis tous les instants $t$ de l'intervalle $[0\,;60]$ secondes où le capteur se déclenche.

Débloquer l'exercice

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Résoudre une équation avec un sinus et retrouver le cosinus

Le signal lumineux d'un panneau d'information atteint son seuil d'allumage chaque fois que $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , où $x$ est l'angle de phase du signal. Première partie : résoudre $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sur l'intervalle $[0\,;2\pi]$ . Seconde partie : pour chaque solution trouvée, donner la valeur exacte de $\cos(x)$ .

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Comment convertir un angle des degrés aux radians ?

On utilise la proportionnalité entre les deux unités : un angle plat mesure 180 degrés et aussi pi radians. Pour passer des degrés aux radians, on multiplie la mesure en degrés par pi divisé par 180. Par exemple, 90 degrés correspondent à 90 fois pi divisé par 180, soit pi sur 2 radians.

Qu'est-ce que le cercle trigonométrique ?

C'est le cercle de centre l'origine du repère et de rayon 1, orienté dans le sens direct, c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre. En enroulant la droite des réels autour de ce cercle, chaque nombre réel vient se placer sur un point du cercle. Le cosinus de ce réel est l'abscisse de ce point et son sinus est son ordonnée.

Que dit la relation fondamentale de la trigonométrie ?

Pour tout nombre réel x, le cosinus de x au carré ajouté au sinus de x au carré est toujours égal à 1. Cette relation vient du fait que le point image se trouve sur un cercle de rayon 1. Elle permet de calculer un cosinus quand on connaît le sinus, ou l'inverse, à condition de connaître le signe.