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Rêves Vision
Première STI2D

Calculer un cosinus à partir d'un sinus (capteur)

Énoncé

Un capteur de position renvoie l'angle xx d'une pièce mobile. À un instant donné, l'électronique mesure sin⁡(x)=35\sin(x) = \dfrac{3}{5}, et un voyant indique que le point image de xx se situe dans le quart en haut à gauche du cercle trigonométrique (le cosinus y est négatif). En utilisant la relation fondamentale de la trigonométrie, calculer la valeur exacte de cos⁡(x)\cos(x).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Écrire la relation fondamentale

    Pour tout réel xx, le cosinus et le sinus vérifient cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1. On connaît sin⁡(x)=35\sin(x) = \dfrac{3}{5} et on cherche cos⁡(x)\cos(x), donc on isole le carré du cosinus : cos⁡2(x)=1−sin⁡2(x)\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x).

  2. 2. Remplacer le sinus par sa valeur

    On remplace sin⁡(x)\sin(x) par 35\dfrac{3}{5} : sin⁡2(x)=(35)2=3252=925\sin^2(x) = \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{3^2}{5^2} = \dfrac{9}{25}. Donc cos⁡2(x)=1−925\cos^2(x) = 1 - \dfrac{9}{25}. On écrit 1=25251 = \dfrac{25}{25} pour soustraire : cos⁡2(x)=2525−925=1625\cos^2(x) = \dfrac{25}{25} - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}.

  3. 3. Prendre la racine carrée

    Un carré qui vaut 1625\dfrac{16}{25} correspond à deux valeurs opposées : cos⁡(x)=45\cos(x) = \dfrac{4}{5} ou cos⁡(x)=−45\cos(x) = -\dfrac{4}{5}, car 1625=1625=45\sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \dfrac{4}{5}. Il reste à choisir le bon signe.

  4. 4. Choisir le signe avec la position du point

    Le point image est dans le quart en haut à gauche : son abscisse est négative, donc cos⁡(x)\cos(x) est négatif. On retient donc la valeur négative. D'après la relation fondamentale et la position du point, cos⁡(x)=−45\cos(x) = -\dfrac{4}{5}.
Réponse finale
cos⁡(x)=−45\cos(x) = -\dfrac{4}{5}
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