Résoudre une équation avec un cosinus

On cherche un réel dont le cosinus vaut $\dfrac{1}{2}$. D'après les valeurs remarquables, $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$. Donc $x = \dfrac{\pi}{3}$ est une solution, et elle appartient bien à $[0\,;2\pi]$.

Sur le cercle trigonométrique, le cosinus est l'abscisse du point image. Or deux points du cercle ont la même abscisse $\dfrac{1}{2}$ : ils sont symétriques par rapport à l'axe horizontal (axe des abscisses). Le second point correspond à l'angle $-\dfrac{\pi}{3}$, car $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$.

L'angle $-\dfrac{\pi}{3}$ n'est pas dans $[0\,;2\pi]$. On lui ajoute un tour, soit $2\pi$, pour obtenir le même point image dans l'intervalle : $-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{-\pi + 6\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}$. On vérifie : $\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$, et $\dfrac{5\pi}{3}$ est bien dans $[0\,;2\pi]$.

Sur l'intervalle $[0\,;2\pi]$, le cercle ne fournit que ces deux points d'abscisse $\dfrac{1}{2}$, donc il n'y a pas d'autre solution. L'équation $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ admet sur $[0\,;2\pi]$ exactement deux solutions : $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = \dfrac{5\pi}{3}$.