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Rêves Vision
Première STI2D

Résoudre une équation avec un sinus et retrouver le cosinus

Énoncé

Le signal lumineux d'un panneau d'information atteint son seuil d'allumage chaque fois que sin⁡(x)=32\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, où xx est l'angle de phase du signal. Première partie : résoudre sin⁡(x)=32\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} sur l'intervalle [0 ;2π][0\,;2\pi]. Seconde partie : pour chaque solution trouvée, donner la valeur exacte de cos⁡(x)\cos(x).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Cherche d'abord une valeur remarquable de l'angle dont le sinus vaut 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  2. Sur le cercle, le sinus est une ordonnée : deux points ont la même ordonnée, l'un à droite de l'axe vertical, l'autre à gauche (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées). Le second angle s'écrit π−x\pi - x.
  3. Pour la seconde partie, utilise cos⁡2(x)=1−sin⁡2(x)\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x), puis choisis le signe de cos⁡(x)\cos(x) selon que le point est à droite (positif) ou à gauche (négatif) de l'axe vertical.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Trouver une première solution évidente

    On cherche un réel dont le sinus vaut 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}. D'après les valeurs remarquables, sin⁡(π3)=32\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Donc x=π3x = \dfrac{\pi}{3} est une solution, et elle appartient bien à [0 ;2π][0\,;2\pi].

  2. 2. Chercher les autres points du cercle

    Sur le cercle trigonométrique, le sinus est l'ordonnée du point image. Or deux points du cercle ont la même ordonnée 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} : ils sont symétriques par rapport à l'axe vertical (axe des ordonnées). Le second point correspond à l'angle π−π3\pi - \dfrac{\pi}{3}, car sin⁡(π−x)=sin⁡(x)\sin(\pi - x) = \sin(x), donc sin⁡(π−π3)=sin⁡(π3)=32\sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

  3. 3. Calculer cette seconde solution

    On calcule π−π3=3π3−π3=2π3\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{3\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}. Cette valeur appartient à [0 ;2π][0\,;2\pi]. Sur l'intervalle, le cercle ne fournit que ces deux points d'ordonnée 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}, donc il n'y a pas d'autre solution : les solutions de la première partie sont x=π3x = \dfrac{\pi}{3} et x=2π3x = \dfrac{2\pi}{3}.

  4. 4. Préparer le calcul du cosinus

    Pour la seconde partie, on utilise la relation fondamentale cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1, soit cos⁡2(x)=1−sin⁡2(x)\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x). Comme sin⁡(x)=32\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} pour les deux solutions, on a sin⁡2(x)=(32)2=34\sin^2(x) = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4}, donc cos⁡2(x)=1−34=14\cos^2(x) = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}. Ainsi cos⁡(x)=12\cos(x) = \dfrac{1}{2} ou cos⁡(x)=−12\cos(x) = -\dfrac{1}{2}, et c'est la position du point qui tranche le signe.

  5. 5. Choisir le signe pour chaque solution

    Pour x=π3x = \dfrac{\pi}{3}, le point image est dans le quart en haut à droite : son abscisse est positive, donc cos⁡(π3)=12\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}. Pour x=2π3x = \dfrac{2\pi}{3}, le point image est dans le quart en haut à gauche : son abscisse est négative, donc cos⁡(2π3)=−12\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}. Ces valeurs sont cohérentes avec le tableau des valeurs remarquables.

  6. 6. Conclure

    On rassemble les résultats des deux parties. Sur [0 ;2π][0\,;2\pi], l'équation sin⁡(x)=32\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} a pour solutions x=π3x = \dfrac{\pi}{3} et x=2π3x = \dfrac{2\pi}{3} ; de plus cos⁡(π3)=12\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2} et cos⁡(2π3)=−12\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}.
Réponse finale
S={π3 ; 2π3};cos⁡(π3)=12, cos⁡(2π3)=−12S = \left\{ \dfrac{\pi}{3} \ ; \ \dfrac{2\pi}{3} \right\} \quad ; \quad \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2},\ \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}
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