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Rêves Vision
Première STI2D

Au moins un défaut dans un lot et nombre moyen de défauts

Énoncé

On reprend la situation précédente : un lot de n=20n = 20 composants, chaque composant ayant une probabilité p=0,05p = 0{,}05 d'être défectueux, indépendamment des autres. On note XX le nombre de composants défectueux, qui suit la loi binomiale B(20 ; 0,05)\mathcal{B}(20\,;\,0{,}05).

1. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins un composant défectueux dans le lot. Arrondir au dix-millième.
2. Déterminer le nombre moyen de composants défectueux par lot, puis l'écart-type de XX.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. « Au moins un » est l'événement contraire de « aucun ». Calcule d'abord P(X=0)P(X = 0).
  2. Pour k=0k = 0, la formule se simplifie beaucoup : (n0)=1\binom{n}{0} = 1 et p0=1p^{0} = 1, donc P(X=0)=(1−p)nP(X = 0) = (1 - p)^{n}.
  3. Le nombre moyen attendu, c'est l'espérance : pour une loi binomiale, E(X)=n pE(X) = n\,p, pas besoin de la grande somme.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Passer par l'événement contraire

    Calculer « au moins un défectueux » terme par terme serait long. On passe par l'événement contraire : « aucun défectueux », c'est-à-dire X=0X = 0. On a donc :
    P(X⩾1)=1−P(X=0).P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0).
    L'événement contraire (X⩾1)‾\overline{(X \geqslant 1)} correspond bien à k=0k = 0 succès.

  2. 2. Calculer P(X = 0)

    Avec la formule de la loi binomiale pour k=0k = 0 :
    P(X=0)=(200)×0,050×0,9520=1×1×0,9520.P(X = 0) = \binom{20}{0} \times 0{,}05^{0} \times 0{,}95^{20} = 1 \times 1 \times 0{,}95^{20}.
    Or 0,9520≈0,35850{,}95^{20} \approx 0{,}3585, donc P(X=0)≈0,3585P(X = 0) \approx 0{,}3585 : c'est la probabilité qu'un lot soit entièrement conforme.

  3. 3. En déduire P(X ≥ 1)

    On obtient :
    P(X⩾1)=1−0,3585=0,6415.P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}3585 = 0{,}6415.
    La probabilité qu'un lot contienne au moins un composant défectueux est d'environ 0,64150{,}6415, soit à peu près 64,2 %64{,}2\,\%. Près de deux lots sur trois contiennent au moins un défaut.

  4. 4. Calculer l'espérance et l'écart-type

    Pour une loi binomiale B(n ; p)\mathcal{B}(n\,;\,p), l'espérance vaut E(X)=n pE(X) = n\,p :
    E(X)=20×0,05=1.E(X) = 20 \times 0{,}05 = 1.
    En moyenne, un lot contient 11 composant défectueux. La variance vaut V(X)=n p (1−p)=20×0,05×0,95=0,95V(X) = n\,p\,(1 - p) = 20 \times 0{,}05 \times 0{,}95 = 0{,}95, donc l'écart-type est :
    σ(X)=0,95≈0,97 composant.\sigma(X) = \sqrt{0{,}95} \approx 0{,}97 \text{ composant}.
    En moyenne, un lot contient E(X)=1E(X) = 1 composant défectueux, avec un écart-type σ(X)≈0,97\sigma(X) \approx 0{,}97 composant.
Réponse finale
P(X⩾1)=1−0,9520≈0,6415;E(X)=20×0,05=1;σ(X)=0,95≈0,97P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}95^{20} \approx 0{,}6415 \quad ; \quad E(X) = 20 \times 0{,}05 = 1 \quad ; \quad \sigma(X) = \sqrt{0{,}95} \approx 0{,}97
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