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Rêves Vision
Première STI2D

Loi de probabilité et gain moyen d'un coffre de mini-jeu

Énoncé

Dans un mini-jeu mobile, ouvrir un coffre rapporte un nombre XX de gemmes. La loi de probabilité de XX est donnée par le tableau suivant :

| xix_i | 00 | 55 | 2020 | 100100 |
|-------|-----|-----|------|-------|
| P(X=xi)P(X = x_i) | 0,550{,}55 | 0,300{,}30 | 0,120{,}12 | aa |

1. Déterminer la valeur de aa.
2. Calculer l'espérance E(X)E(X) et interpréter le résultat.
3. Ouvrir un coffre coûte 88 gemmes. Le jeu est-il avantageux pour le joueur sur le long terme ?

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Trouver la probabilité manquante a

    La somme de toutes les probabilités d'une loi de probabilité vaut 11, donc :
    0,55+0,30+0,12+a=1.0{,}55 + 0{,}30 + 0{,}12 + a = 1.
    On additionne les probabilités connues : 0,55+0,30+0,12=0,970{,}55 + 0{,}30 + 0{,}12 = 0{,}97. On en déduit que a=1−0,97=0,03a = 1 - 0{,}97 = 0{,}03. La probabilité de gagner 100100 gemmes vaut donc a=0,03a = 0{,}03.

  2. 2. Calculer l'espérance E(X)

    Par définition, E(X)=∑xi P(X=xi)E(X) = \sum x_i\, P(X = x_i), c'est-à-dire :
    E(X)=0×0,55+5×0,30+20×0,12+100×0,03.E(X) = 0 \times 0{,}55 + 5 \times 0{,}30 + 20 \times 0{,}12 + 100 \times 0{,}03.
    On calcule chaque produit : 0×0,55=00 \times 0{,}55 = 0 ; 5×0,30=1,55 \times 0{,}30 = 1{,}5 ; 20×0,12=2,420 \times 0{,}12 = 2{,}4 ; 100×0,03=3100 \times 0{,}03 = 3. On additionne :
    E(X)=0+1,5+2,4+3=6,9 gemmes.E(X) = 0 + 1{,}5 + 2{,}4 + 3 = 6{,}9 \text{ gemmes}.
    En moyenne, sur un très grand nombre d'ouvertures, un coffre rapporte 6,96{,}9 gemmes.

  3. 3. Comparer le gain moyen au coût

    Ouvrir un coffre coûte 88 gemmes et en rapporte en moyenne 6,96{,}9 gemmes. Le gain moyen net par coffre vaut donc :
    6,9−8=−1,1 gemme.6{,}9 - 8 = -1{,}1 \text{ gemme}.
    Comme ce gain moyen est négatif, le joueur perd en moyenne 1,11{,}1 gemme à chaque ouverture : le jeu n'est pas avantageux pour lui sur le long terme.
Réponse finale
a=0,03;E(X)=6,9 gemmes;6,9−8=−1,1<0 (jeu deˊfavorable au joueur)a = 0{,}03 \quad ; \quad E(X) = 6{,}9 \text{ gemmes} \quad ; \quad 6{,}9 - 8 = -1{,}1 < 0 \ \text{(jeu défavorable au joueur)}
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