Aller au contenu
Rêves Vision
Première STI2D

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal au jeu vidéo

Énoncé

Dans un jeu de football en ligne, un joueur dispute une série de 66 matchs de classement. Pour chaque match, le résultat est soit une victoire, soit une défaite. On veut compter le nombre de façons d'obtenir un certain nombre de victoires sur la série, sans tenir compte de l'ordre des matchs.

1. Construire la ligne du triangle de Pascal correspondant à n=6n = 6.
2. En déduire le coefficient binomial (62)\dbinom{6}{2} : combien de façons de remporter exactement 22 matchs sur les 66 ?
3. Sans nouveau calcul, donner (64)\dbinom{6}{4} et expliquer pourquoi il est égal à (62)\dbinom{6}{2}.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour construire une ligne du triangle de Pascal, additionne deux à deux les nombres voisins de la ligne précédente ; chaque ligne commence et finit par 11.
  2. Le coefficient (6k)\dbinom{6}{k} se lit dans la ligne n=6n = 6 en comptant les positions à partir de k=0k = 0.
  3. Pour la symétrie, retiens que (nk)=(nn−k)\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k} : choisir kk succès, c'est choisir les n−kn-k échecs.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Construire la ligne n = 6 du triangle de Pascal

    Dans le triangle de Pascal, chaque nombre est la somme des deux situés juste au-dessus, et chaque ligne commence et finit par 11. On part de la ligne n=5n = 5 : 1 ; 5 ; 10 ; 10 ; 5 ; 11\,;\,5\,;\,10\,;\,10\,;\,5\,;\,1. Pour la ligne n=6n = 6, on additionne les voisins :
    1 ; 1+5=6 ; 5+10=15 ; 10+10=20 ; 10+5=15 ; 5+1=6 ; 1.1 \ ; \ 1+5 = 6 \ ; \ 5+10 = 15 \ ; \ 10+10 = 20 \ ; \ 10+5 = 15 \ ; \ 5+1 = 6 \ ; \ 1.
    La ligne n=6n = 6 est donc : 1 ; 6 ; 15 ; 20 ; 15 ; 6 ; 11\,;\,6\,;\,15\,;\,20\,;\,15\,;\,6\,;\,1.

  2. 2. Lire le coefficient binomial 2 parmi 6

    Les coefficients de la ligne n=6n = 6 sont, dans l'ordre, (60),(61),(62),…,(66)\dbinom{6}{0}, \dbinom{6}{1}, \dbinom{6}{2}, \dots, \dbinom{6}{6}. La valeur de rang k=2k = 2 (en comptant à partir de k=0k = 0) est le troisième nombre de la ligne, soit :
    (62)=15.\binom{6}{2} = 15.
    Il y a donc 1515 façons différentes de remporter exactement 22 matchs sur les 66, sans tenir compte de l'ordre.

  3. 3. Utiliser la symétrie du triangle

    Le triangle de Pascal est symétrique : choisir les 44 matchs gagnés revient à choisir les 22 matchs perdus parmi les 66. On a donc (64)=(62)\dbinom{6}{4} = \dbinom{6}{2}. En lisant la ligne n=6n = 6 au rang k=4k = 4 (cinquième nombre), on retrouve bien :
    (64)=15.\binom{6}{4} = 15.
    La ligne n=6n = 6 du triangle de Pascal est 1 ; 6 ; 15 ; 20 ; 15 ; 6 ; 11\,;\,6\,;\,15\,;\,20\,;\,15\,;\,6\,;\,1, d'où (62)=15\dbinom{6}{2} = 15 façons de gagner 22 matchs, et (64)=15\dbinom{6}{4} = 15 par symétrie.
Réponse finale
Ligne n=6:1 ; 6 ; 15 ; 20 ; 15 ; 6 ; 1;(62)=15;(64)=(62)=15\text{Ligne } n = 6 : 1\,;\,6\,;\,15\,;\,20\,;\,15\,;\,6\,;\,1 \quad ; \quad \binom{6}{2} = 15 \quad ; \quad \binom{6}{4} = \binom{6}{2} = 15
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Variables aléatoires et loi binomiale ← Retour au cours

À suivre