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Rêves Vision
Première STI2D

Impressions 3D ratées dans un atelier de prototypage

Énoncé

Dans un atelier de prototypage, une imprimante 3D lance des pièces en série. D'après le suivi de l'atelier, chaque pièce a une probabilité p=0,2p = 0{,}2 d'être ratée (déformation, décollement), indépendamment des autres. Une nuit, l'atelier lance une fournée de n=10n = 10 pièces. On note XX le nombre de pièces ratées parmi les 1010.

1. Justifier que XX suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité d'avoir exactement 33 pièces ratées. Arrondir au dix-millième.
3. Calculer la probabilité d'avoir au moins 22 pièces ratées. Arrondir au dix-millième.
4. Déterminer le nombre moyen de pièces ratées et l'écart-type de XX.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour la question 1, vérifie les quatre conditions du schéma de Bernoulli : même épreuve à deux issues, répétée, indépendante, avec un pp constant. Le succès est ici « pièce ratée », de probabilité 0,20{,}2.
  2. Pour « au moins 22 », ne calcule pas terme à terme jusqu'à 1010 : passe par le contraire « au plus 11 », donc P(X⩾2)=1−(P(X=0)+P(X=1))P(X \geqslant 2) = 1 - \big(P(X = 0) + P(X = 1)\big).
  3. Pour E(X)E(X) et σ(X)\sigma(X), utilise directement les formules de la loi binomiale : E(X)=n pE(X) = n\,p, V(X)=n p (1−p)V(X) = n\,p\,(1 - p) et σ(X)=V(X)\sigma(X) = \sqrt{V(X)}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Identifier la loi de X

    Pour chaque pièce, il y a deux issues : « ratée » (succès, de probabilité p=0,2p = 0{,}2) ou « réussie ». Les pièces sont ratées indépendamment les unes des autres, on répète 1010 fois la même épreuve avec la même probabilité pp. C'est donc un schéma de Bernoulli, et XX, qui compte le nombre de succès, suit la loi binomiale B(10 ; 0,2)\mathcal{B}(10\,;\,0{,}2).

  2. 2. Calculer P(X = 3)

    Pour une loi binomiale B(n ; p)\mathcal{B}(n\,;\,p), P(X=k)=(nk) pk (1−p) n−kP(X = k) = \dbinom{n}{k}\, p^{k}\,(1 - p)^{\,n - k}. Ici n=10n = 10, p=0,2p = 0{,}2 et k=3k = 3, donc :
    P(X=3)=(103)×0,23×0,87.P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0{,}2^{3} \times 0{,}8^{7}.
    On calcule chaque facteur : (103)=120\dbinom{10}{3} = 120, puis 0,23=0,0080{,}2^{3} = 0{,}008 et 0,87≈0,20970{,}8^{7} \approx 0{,}2097. D'où :
    P(X=3)=120×0,008×0,2097≈0,2013.P(X = 3) = 120 \times 0{,}008 \times 0{,}2097 \approx 0{,}2013.
    La probabilité d'avoir exactement 33 pièces ratées est d'environ 0,20130{,}2013.

  3. 3. Mettre en place le calcul de P(X ≥ 2)

    Calculer « au moins 22 ratées » directement obligerait à additionner P(X=2)+P(X=3)+⋯+P(X=10)P(X = 2) + P(X = 3) + \dots + P(X = 10), ce qui est long. On passe par l'événement contraire : « au plus 11 ratée », c'est-à-dire X=0X = 0 ou X=1X = 1. Ainsi :
    P(X⩾2)=1−(P(X=0)+P(X=1)).P(X \geqslant 2) = 1 - \big(P(X = 0) + P(X = 1)\big).

  4. 4. Calculer P(X = 0) et P(X = 1)

    Pour k=0k = 0 : (100)=1\dbinom{10}{0} = 1 et 0,20=10{,}2^{0} = 1, donc
    P(X=0)=0,810≈0,1074.P(X = 0) = 0{,}8^{10} \approx 0{,}1074.
    Pour k=1k = 1 : (101)=10\dbinom{10}{1} = 10, donc
    P(X=1)=10×0,21×0,89=10×0,2×0,1342≈0,2684.P(X = 1) = 10 \times 0{,}2^{1} \times 0{,}8^{9} = 10 \times 0{,}2 \times 0{,}1342 \approx 0{,}2684.

  5. 5. En déduire P(X ≥ 2)

    On additionne les deux probabilités du contraire : P(X=0)+P(X=1)≈0,1074+0,2684=0,3758P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0{,}1074 + 0{,}2684 = 0{,}3758. Puis :
    P(X⩾2)=1−0,3758=0,6242.P(X \geqslant 2) = 1 - 0{,}3758 = 0{,}6242.
    La probabilité d'avoir au moins 22 pièces ratées dans la fournée est d'environ 0,62420{,}6242, soit à peu près 62,4 %62{,}4\,\%.

  6. 6. Calculer l'espérance et l'écart-type

    Pour une loi binomiale, E(X)=n p=10×0,2=2E(X) = n\,p = 10 \times 0{,}2 = 2 : en moyenne, 22 pièces sont ratées par fournée de 1010. La variance vaut V(X)=n p (1−p)=10×0,2×0,8=1,6V(X) = n\,p\,(1 - p) = 10 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 1{,}6, donc l'écart-type est :
    σ(X)=1,6≈1,26 pieˋce.\sigma(X) = \sqrt{1{,}6} \approx 1{,}26 \text{ pièce}.
    Pour X∼B(10 ; 0,2)X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}2) : P(X=3)≈0,2013P(X = 3) \approx 0{,}2013, P(X⩾2)≈0,6242P(X \geqslant 2) \approx 0{,}6242, E(X)=2E(X) = 2 pièces ratées en moyenne et σ(X)≈1,26\sigma(X) \approx 1{,}26 pièce.
Réponse finale
P(X=3)=(103)×0,23×0,87≈0,2013;P(X⩾2)=1−(0,810+10×0,2×0,89)≈0,6242;E(X)=2;σ(X)=1,6≈1,26P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0{,}2^{3} \times 0{,}8^{7} \approx 0{,}2013 \quad ; \quad P(X \geqslant 2) = 1 - \big(0{,}8^{10} + 10 \times 0{,}2 \times 0{,}8^{9}\big) \approx 0{,}6242 \quad ; \quad E(X) = 2 \quad ; \quad \sigma(X) = \sqrt{1{,}6} \approx 1{,}26
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