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Rêves Vision
Première STI2D

Probabilité d'avoir exactement deux composants défectueux

Énoncé

Une carte électronique est équipée de composants livrés en lots. Chaque composant a une probabilité p=0,05p = 0{,}05 d'être défectueux, indépendamment des autres. On prélève au hasard n=20n = 20 composants d'un même lot et on note XX le nombre de composants défectueux parmi les 2020.

1. Justifier que XX suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité d'avoir exactement 22 composants défectueux. Arrondir au dix-millième.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Identifier la loi de X

    Pour chaque composant, il y a deux issues : « défectueux » (succès, de probabilité p=0,05p = 0{,}05) ou « conforme ». Les composants sont défectueux indépendamment les uns des autres, et on répète 2020 fois la même épreuve avec la même probabilité pp. C'est donc un schéma de Bernoulli, et XX, qui compte le nombre de succès, suit la loi binomiale B(20 ; 0,05)\mathcal{B}(20\,;\,0{,}05).

  2. 2. Écrire la formule pour exactement k succès

    Pour une loi binomiale B(n ; p)\mathcal{B}(n\,;\,p), la probabilité d'obtenir exactement kk succès est :
    P(X=k)=(nk) pk (1−p) n−k.P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\,(1 - p)^{\,n - k}.
    Ici n=20n = 20, p=0,05p = 0{,}05 et on cherche k=2k = 2, donc :
    P(X=2)=(202)×0,052×0,9518.P(X = 2) = \binom{20}{2} \times 0{,}05^{2} \times 0{,}95^{18}.

  3. 3. Calculer chaque facteur

    On calcule le coefficient binomial (202)=190\dbinom{20}{2} = 190 (à la calculatrice ou avec le triangle de Pascal). Ensuite : 0,052=0,00250{,}05^{2} = 0{,}0025 et 0,9518≈0,39720{,}95^{18} \approx 0{,}3972. La probabilité devient :
    P(X=2)=190×0,0025×0,3972.P(X = 2) = 190 \times 0{,}0025 \times 0{,}3972.

  4. 4. Conclure

    On effectue le produit : 190×0,0025=0,475190 \times 0{,}0025 = 0{,}475, puis 0,475×0,3972≈0,18870{,}475 \times 0{,}3972 \approx 0{,}1887.
    La probabilité d'avoir exactement 22 composants défectueux sur les 2020 est d'environ 0,18870{,}1887, soit à peu près 18,9 %18{,}9\,\%.
Réponse finale
P(X=2)=(202)×0,052×0,9518≈0,1887P(X = 2) = \binom{20}{2} \times 0{,}05^{2} \times 0{,}95^{18} \approx 0{,}1887
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