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Rêves Vision
Première STI2D

Loi de probabilité, variance et écart-type des badges d'une vidéo

Énoncé

Sur une plateforme de vidéos courtes, chaque vidéo publiée par un créateur peut décrocher des badges « tendance » dans la journée. On note XX le nombre de badges obtenus par une vidéo. Une étude sur l'historique du compte donne la loi de probabilité suivante :

| xix_i | 00 | 11 | 22 | 33 |
|-------|-----|-----|-----|-----|
| P(X=xi)P(X = x_i) | 0,20{,}2 | 0,30{,}3 | 0,40{,}4 | 0,10{,}1 |

1. Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité.
2. Calculer l'espérance E(X)E(X) et interpréter le résultat.
3. Calculer la variance V(X)V(X) avec la formule de König-Huygens, puis l'écart-type σ(X)\sigma(X) arrondi au centième.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour vérifier que c'est une loi de probabilité, additionne toutes les probabilités : tu dois trouver exactement 11.
  2. L'espérance se calcule en multipliant chaque valeur xix_i par sa probabilité, puis en additionnant le tout.
  3. Pour König-Huygens, calcule d'abord E(X2)E(X^2) en élevant chaque xix_i au carré, puis applique V(X)=E(X2)−(E(X))2V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 avant de prendre la racine carrée.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Vérifier que c'est une loi de probabilité

    Toutes les probabilités sont comprises entre 00 et 11. Il reste à vérifier que leur somme vaut 11 :
    0,2+0,3+0,4+0,1=1.0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}1 = 1.
    La somme des probabilités est bien égale à 11 : le tableau définit donc une loi de probabilité valide.

  2. 2. Calculer l'espérance E(X)

    Par définition, E(X)=∑xi P(X=xi)E(X) = \sum x_i\, P(X = x_i), donc :
    E(X)=0×0,2+1×0,3+2×0,4+3×0,1.E(X) = 0 \times 0{,}2 + 1 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}4 + 3 \times 0{,}1.
    On calcule chaque produit : 0×0,2=00 \times 0{,}2 = 0 ; 1×0,3=0,31 \times 0{,}3 = 0{,}3 ; 2×0,4=0,82 \times 0{,}4 = 0{,}8 ; 3×0,1=0,33 \times 0{,}1 = 0{,}3. En additionnant :
    E(X)=0+0,3+0,8+0,3=1,4.E(X) = 0 + 0{,}3 + 0{,}8 + 0{,}3 = 1{,}4.
    En moyenne, sur un très grand nombre de vidéos, une vidéo décroche 1,41{,}4 badge.

  3. 3. Calculer E(X au carré)

    La formule de König-Huygens utilise E(X2)=∑xi2 P(X=xi)E(X^2) = \sum x_i^{2}\, P(X = x_i). On élève chaque valeur xix_i au carré avant de la multiplier par sa probabilité :
    E(X2)=02×0,2+12×0,3+22×0,4+32×0,1.E(X^2) = 0^{2} \times 0{,}2 + 1^{2} \times 0{,}3 + 2^{2} \times 0{,}4 + 3^{2} \times 0{,}1.
    Donc E(X2)=0+0,3+1,6+0,9=2,8E(X^2) = 0 + 0{,}3 + 1{,}6 + 0{,}9 = 2{,}8.

  4. 4. En déduire la variance puis l'écart-type

    D'après la formule de König-Huygens, V(X)=E(X2)−(E(X))2V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^{2}, donc :
    V(X)=2,8−1,42=2,8−1,96=0,84.V(X) = 2{,}8 - 1{,}4^{2} = 2{,}8 - 1{,}96 = 0{,}84.
    L'écart-type est la racine carrée de la variance :
    σ(X)=0,84≈0,92.\sigma(X) = \sqrt{0{,}84} \approx 0{,}92.
    En moyenne une vidéo obtient E(X)=1,4E(X) = 1{,}4 badge, avec un écart-type σ(X)≈0,92\sigma(X) \approx 0{,}92 badge qui mesure la dispersion autour de cette moyenne.
Réponse finale
E(X)=1,4;E(X2)=2,8;V(X)=2,8−1,42=0,84;σ(X)=0,84≈0,92E(X) = 1{,}4 \quad ; \quad E(X^2) = 2{,}8 \quad ; \quad V(X) = 2{,}8 - 1{,}4^{2} = 0{,}84 \quad ; \quad \sigma(X) = \sqrt{0{,}84} \approx 0{,}92
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