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Rêves Vision
Première

Dériver un quotient

Énoncé

Dériver la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x+1x2+1f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + 1}.

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  1. 1. Poser u et v

    On pose u=x+1u = x + 1 et v=x2+1v = x^2 + 1, d'où u′=1u' = 1 et v′=2xv' = 2x. Le dénominateur v=x2+1v = x^2 + 1 ne s'annule jamais, donc ff est bien dérivable sur R\mathbb{R}.

  2. 2. Appliquer la formule du quotient

    On utilise (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} : f′(x)=1×(x2+1)−(x+1)×2x(x2+1)2.f'(x) = \dfrac{1 \times (x^2 + 1) - (x + 1) \times 2x}{(x^2 + 1)^2}.

  3. 3. Développer le numérateur

    Au numérateur : (x2+1)−(x+1)×2x=x2+1−(2x2+2x)=x2+1−2x2−2x=−x2−2x+1.(x^2 + 1) - (x + 1) \times 2x = x^2 + 1 - (2x^2 + 2x) = x^2 + 1 - 2x^2 - 2x = -x^2 - 2x + 1.

  4. 4. Conclure

    On obtient donc f′(x)=−x2−2x+1(x2+1)2f'(x) = \dfrac{-x^2 - 2x + 1}{(x^2 + 1)^2} sur R\mathbb{R}.
Réponse finale
f′(x)=−x2−2x+1(x2+1)2f'(x) = \dfrac{-x^2 - 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}
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