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Première Approfondissement gratuit

Étudier les variations de x au cube − 3x

Énoncé

Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. Étudier ses variations et déterminer ses extremums locaux.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Dériver

    f′(x)=3x2−3=3(x2−1)=3(x−1)(x+1).f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1).

  2. 2. Étudier le signe de f′

    f′(x)f'(x) est un trinôme avec un coefficient 3>03 > 0 : il est positif à l'extérieur des racines −1-1 et 11, négatif entre elles. Donc ff est croissante sur ]−∞ ; −1]\left]-\infty\,;\,-1\right], décroissante sur [−1 ; 1]\left[-1\,;\,1\right], puis croissante sur [1 ; +∞[\left[1\,;\,+\infty\right[.

  3. 3. Calculer les extremums

    Maximum local en x=−1x = -1 : f(−1)=−1+3=2f(-1) = -1 + 3 = 2. Minimum local en x=1x = 1 : f(1)=1−3=−2.f(1) = 1 - 3 = -2.
Réponse finale
Max local f(−1)=2 ; min local f(1)=−2\text{Max local } f(-1) = 2 \ ; \ \text{min local } f(1) = -2
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