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Rêves Vision
Première

Optimiser l'aire d'un enclos

Énoncé

On dispose de 4040 mètres de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire adossé à un mur. Le mur tient lieu d'un des grands côtés : le grillage ne couvre donc que les deux largeurs et la longueur opposée au mur. On note xx la largeur (en mètres). Déterminer la valeur de xx qui rend l'aire de l'enclos maximale, et donner cette aire maximale.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Fais un schéma : le mur remplace un côté. Le grillage couvre deux largeurs xx et une longueur. Exprime cette longueur en fonction de xx à partir des 4040 m disponibles.
  2. La longueur vaut 40−2x40 - 2x, donc l'aire est A(x)=x×(40−2x)A(x) = x \times (40 - 2x). Développe, puis dérive AA.
  3. Étudie le signe de A′(x)A'(x) : l'aire est maximale là où A′A' s'annule en changeant de signe (de ++ à −-). N'oublie pas que xx doit rester dans ]0 ; 20[\left]0\,;\,20\right[ pour que la longueur soit positive.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Modéliser l'aire

    Le grillage couvre deux largeurs xx et la longueur LL opposée au mur : 2x+L=402x + L = 40, d'où L=40−2xL = 40 - 2x. L'aire de l'enclos est donc A(x)=x×(40−2x)=40x−2x2.A(x) = x \times (40 - 2x) = 40x - 2x^2. Pour que L>0L > 0, il faut x∈]0 ; 20[x \in \left]0\,;\,20\right[.

  2. 2. Dériver

    A′(x)=40−2×2x=40−4x.A'(x) = 40 - 2 \times 2x = 40 - 4x.

  3. 3. Étudier le signe de A′

    A′(x)=40−4x=0  ⟺  x=10.A'(x) = 40 - 4x = 0 \iff x = 10. Comme le coefficient de xx est −4<0-4 < 0, on a A′(x)>0A'(x) > 0 pour x<10x < 10 et A′(x)<0A'(x) < 0 pour x>10x > 10. Donc AA est croissante sur ]0 ; 10]\left]0\,;\,10\right] puis décroissante sur [10 ; 20[\left[10\,;\,20\right[ : elle atteint un maximum en x=10x = 10.

  4. 4. Calculer l'aire maximale

    Pour x=10x = 10 : la longueur vaut L=40−2×10=20L = 40 - 2 \times 10 = 20 m, et l'aire vaut A(10)=10×20=200 m2A(10) = 10 \times 20 = 200 \text{ m}^2. L'aire est donc maximale pour une largeur x=10x = 10 m (longueur 2020 m), et vaut alors 200 m2200 \text{ m}^2.
Réponse finale
x=10 metAmax⁡=A(10)=200 m2x = 10 \text{ m} \quad\text{et}\quad A_{\max} = A(10) = 200 \text{ m}^2
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