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Équation du cercle de diamètre [AB]

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(−1 ; 2)A(-1\,;\,2) et B(5 ; 6)B(5\,;\,6). Déterminer l'équation du cercle C\mathcal{C} de diamètre [AB][AB].

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Déterminer le centre (milieu de [AB])

    Le centre Ω\Omega du cercle de diamètre [AB][AB] est le milieu de [AB][AB] : Ω(xA+xB2 ; yA+yB2)=(−1+52 ; 2+62)=(2 ; 4).\Omega\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\dfrac{-1 + 5}{2}\,;\,\dfrac{2 + 6}{2}\right) = (2\,;\,4).

  2. 2. Déterminer le rayon

    On calcule la longueur AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2=(5−(−1))2+(6−2)2=62+42=36+16=52=213.AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}. Le rayon vaut r=AB2=13r = \dfrac{AB}{2} = \sqrt{13}, donc r2=13.r^2 = 13.

  3. 3. Écrire l'équation

    Avec Ω(2 ; 4)\Omega(2\,;\,4) et r2=13r^2 = 13, l'équation est (x−2)2+(y−4)2=13.(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 13.

  4. 4. Vérifier que A et B sont sur le cercle

    Pour A(−1 ; 2)A(-1\,;\,2) : (−1−2)2+(2−4)2=(−3)2+(−2)2=9+4=13(-1 - 2)^2 + (2 - 4)^2 = (-3)^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13 ✓. Pour B(5 ; 6)B(5\,;\,6) : (5−2)2+(6−4)2=32+22=9+4=13(5 - 2)^2 + (6 - 4)^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13 ✓. Les deux points appartiennent bien à C.\mathcal{C}.
Réponse finale
(x−2)2+(y−4)2=13(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 13
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