Première · Chapitre 11

Équations de droites et de cercles

Cours de Première spé maths : équation réduite et cartésienne d'une droite, coefficient directeur, vecteur directeur, équation d'un cercle de centre et de rayon donnés. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

La géométrie repérée : milieu, distance et droites

En géométrie repérée, une droite comme un cercle se décrivent par une équation : un point appartient à la figure exactement lorsque ses coordonnées vérifient cette équation. On dispose pour les droites de deux écritures - l’équation réduite et l’équation cartésienne - et pour les cercles d’une formule issue directement de la distance.

Équation réduite d'une droite

Toute droite non verticale admet une équation réduite de la forme $y = mx + p$ , où :

$m$ est le coefficient directeur (la pente),
$p$ est l’ordonnée à l’origine.

Une droite verticale a une équation de la forme $x = k$ et n’admet pas d’équation réduite.

Coefficient directeur à partir de deux points

Si $A$ et $B$ ont des abscisses distinctes ( $x_A \neq x_B$ ), le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :

$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

soit la variation des ordonnées divisée par la variation des abscisses.

Équation cartésienne d'une droite

Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme :

$ax + by + c = 0 \qquad \text{avec } (a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$

Réciproquement, toute équation de ce type représente une droite. Une droite a une infinité d’équations cartésiennes (toutes proportionnelles), mais une seule équation réduite lorsqu’elle est non verticale.

Vecteur directeur d'une droite

Un vecteur directeur d’une droite $d$ est un vecteur non nul $\vec{u}$ qui dirige $d$ : il a la même direction que la droite.

Si $d$ a pour équation cartésienne $ax + by + c = 0$ , alors le vecteur de coordonnées $\vec{u}\,(-b\,;\,a)$ est un vecteur directeur de $d$ .

Équation d'un cercle

Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $\Omega(a\,;\,b)$ et de rayon $r \geq 0$ est l’ensemble des points $M(x\,;\,y)$ tels que $\Omega M = r$ , ce qui s’écrit :

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Le centre se lit en changeant le signe des constantes, et le rayon est la racine carrée du second membre.

Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points

Vérifier que $x_A \neq x_B$ , puis calculer $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ .
Écrire $y = mx + p$ et remplacer $x$ , $y$ par les coordonnées d’un point connu pour trouver $p$ .
Conclure par l’équation réduite $y = mx + p$ , puis vérifier avec le second point.

Lire (ou écrire) l'équation d'un cercle

De $\Omega$ et $r$ vers l’équation : reporter directement dans $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ .
De l’équation vers $\Omega$ et $r$ : sur la forme $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ , lire $\Omega(a\,;\,b)$ (signes opposés) puis $r = \sqrt{r^2}$ .

Les pièges classiques

Dans $(x - a)^2$ , le centre a pour abscisse $+a$ : ainsi $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ correspond à une abscisse de centre égale à $-3$ .
Le second membre vaut $r^2$ , pas $r$ : pour $(x-1)^2+(y-2)^2 = 25$ , le rayon est $\sqrt{25} = 5$ .
Pour passer d’une équation cartésienne $ax+by+c=0$ à un vecteur directeur, c’est $(-b\,;\,a)$ et non $(a\,;\,b)$ .

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Équation réduite d'une droite passant par deux points

Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$ passant par les points $A(-2\,;\,3)$ et $B(2\,;\,5)$ .

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Position d'un point par rapport à un cercle

Une box internet diffuse un signal capté sans coupure jusqu'à une distance de $5$ mètres. Dans un repère orthonormé gradué en mètres, la box est placée au point $\Omega(4\,;\,3)$ , ce qui correspond au cercle $\mathcal{C}$ d'équation $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$ . Trois écrans sont posés en $A(7\,;\,7)$ , $B(8\,;\,3)$ et $C(10\,;\,3)$ . Pour chacun, dire s'il est sur le bord de la zone (sur le cercle), à l'intérieur ou à l'extérieur.

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Vérifier qu'un point appartient à une droite ou à un cercle

On considère la droite $d$ d'équation $y = 2x - 1$ et le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$ . 1) Le point $P(3\,;\,5)$ appartient-il à $d$  ? 2) Le point $Q(4\,;\,2)$ appartient-il à $\mathcal{C}$  ? 3) Le point $R(2\,;\,0)$ appartient-il à $\mathcal{C}$  ?

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Droite parallèle à une droite donnée passant par un point

Dans un éditeur de niveau d'un jeu de plateforme, le sol d'une rampe suit la droite $d_1$ d'équation réduite $y = -\dfrac{3}{4}x + 5$ . On veut tracer une seconde rampe $d_2$ qui reste exactement parallèle à $d_1$ et qui passe par le point $P(8\,;\,1)$ . Déterminer l'équation réduite de la droite $d_2$ .

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Équation d'un cercle : du centre et du rayon, et inversement

1) Déterminer l'équation du cercle $\mathcal{C}_1$ de centre $\Omega(-3\,;\,2)$ et de rayon $r = 4$ . 2) Lire le centre et le rayon du cercle $\mathcal{C}_2$ d'équation $(x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 49$ .

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Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite

On considère la droite $d$ d'équation cartésienne $3x - 2y + 6 = 0$ . 1) Donner un vecteur directeur de $d$ . 2) Le point $A(0\,;\,3)$ appartient-il à $d$  ?

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Équation d'un cercle tangent à un axe du repère

Une appli de retouche photo affiche un logo circulaire $\mathcal{C}$ de centre $\Omega(6\,;\,4)$ , dans un repère orthonormé gradué en centimètres. Le designer impose que le cercle soit posé exactement sur le bord bas de la zone, c'est-à-dire qu'il soit tangent à l'axe des abscisses (il le touche en un seul point). 1) Déterminer le rayon $r$ du cercle $\mathcal{C}$ . 2) En déduire l'équation de $\mathcal{C}$ . 3) Déterminer les coordonnées du point de contact $T$ avec l'axe des abscisses et vérifier que $T$ appartient à $\mathcal{C}.$

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Bonus

Équation du cercle de diamètre [AB]

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1\,;\,2)$ et $B(5\,;\,6)$ . Déterminer l'équation du cercle $\mathcal{C}$ de diamètre $[AB]$ .

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Quelle est l'équation cartésienne d'une droite ?

Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0, avec a et b non tous les deux nuls. À l'inverse, une telle équation représente toujours une droite.

Comment trouver un vecteur directeur d'une droite à partir de son équation cartésienne ?

Si la droite a pour équation ax + by + c = 0, alors le vecteur de coordonnées (−b ; a) est un vecteur directeur de cette droite.

Quelle est l'équation d'un cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r ?

Un point M(x ; y) appartient au cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r si et seulement si (x − a) au carré + (y − b) au carré = r au carré. C'est la traduction de ΩM = r en repère orthonormé.