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Rêves Vision
Première

Équation d'un cercle tangent à un axe du repère

Énoncé

Une appli de retouche photo affiche un logo circulaire C\mathcal{C} de centre Ω(6 ; 4)\Omega(6\,;\,4), dans un repère orthonormé gradué en centimètres. Le designer impose que le cercle soit posé exactement sur le bord bas de la zone, c'est-à-dire qu'il soit tangent à l'axe des abscisses (il le touche en un seul point). 1) Déterminer le rayon rr du cercle C\mathcal{C}. 2) En déduire l'équation de C\mathcal{C}. 3) Déterminer les coordonnées du point de contact TT avec l'axe des abscisses et vérifier que TT appartient à C.\mathcal{C}.
A r = 4
Logo circulaire de centre Ω(6 ; 4), tangent à l'axe des abscisses en T(6 ; 0)
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La distance du centre Ω(xΩ ; yΩ)\Omega(x_\Omega\,;\,y_\Omega) à l'axe des abscisses (la droite y=0y = 0) se lit directement : c'est ∣yΩ∣|y_\Omega|.
  2. « Tangent à une droite » signifie que le cercle touche cette droite en un seul point : la distance du centre à la droite est alors exactement égale au rayon.
  3. Le point de contact se trouve à la verticale du centre sur l'axe : même abscisse que Ω\Omega, et ordonnée 00.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Relier la tangence à l'axe et le rayon

    Un cercle est tangent à une droite lorsque la distance de son centre à cette droite est égale à son rayon. L'axe des abscisses a pour équation y=0y = 0, et la distance d'un point Ω(xΩ ; yΩ)\Omega(x_\Omega\,;\,y_\Omega) à cet axe est ∣yΩ∣|y_\Omega|. Ici Ω(6 ; 4)\Omega(6\,;\,4), donc cette distance vaut ∣4∣=4.|4| = 4.

  2. 2. Déterminer le rayon

    La tangence à l'axe des abscisses impose donc r=4r = 4 (centimètres). On en déduit r2=42=16.r^2 = 4^2 = 16.

  3. 3. Écrire l'équation du cercle

    L'équation d'un cercle de centre Ω(a ; b)\Omega(a\,;\,b) et de rayon rr est (x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2. Avec a=6a = 6, b=4b = 4 et r2=16r^2 = 16, on obtient (x−6)2+(y−4)2=16.(x - 6)^2 + (y - 4)^2 = 16.

  4. 4. Déterminer le point de contact T

    Le point de contact TT est le projeté orthogonal de Ω\Omega sur l'axe des abscisses : il a la même abscisse que Ω\Omega et une ordonnée nulle, donc T(6 ; 0)T(6\,;\,0). On vérifie la distance : ΩT=(6−6)2+(0−4)2=0+16=16=4=r.\Omega T = \sqrt{(6 - 6)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4 = r.

  5. 5. Vérifier que T appartient au cercle

    On remplace les coordonnées de T(6 ; 0)T(6\,;\,0) dans le premier membre de l'équation : (6−6)2+(0−4)2=02+(−4)2=0+16=16(6 - 6)^2 + (0 - 4)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 0 + 16 = 16. Le résultat est égal au second membre, donc TT appartient à C\mathcal{C} et le cercle est bien tangent à l'axe des abscisses en T(6 ; 0)T(6\,;\,0).
Réponse finale
(x−6)2+(y−4)2=16;T(6 ; 0)(x - 6)^2 + (y - 4)^2 = 16 \quad ; \quad T(6\,;\,0)
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