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Probabilité d'au moins un succès (problème)

Énoncé

Une urne contient des boules dont une proportion p=0,2p = 0{,}2 sont gagnantes. On tire successivement 55 boules avec remise (la composition de l'urne reste donc inchangée à chaque tirage). On note XX le nombre de boules gagnantes obtenues.

Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule gagnante, c'est-à-dire P(X⩾1)P(X \geqslant 1).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître la loi de X

    À chaque tirage, deux issues : succès « boule gagnante » de probabilité p=0,2p = 0{,}2, échec de probabilité 1−p=0,81 - p = 0{,}8. Les tirages sont identiques et indépendants (tirage avec remise), donc XX suit la loi binomiale B(5 ; 0,2)\mathcal{B}(5\,;\,0{,}2).

  2. 2. Passer par l'événement contraire

    L'événement « au moins une gagnante » (X⩾1X \geqslant 1) est le contraire de « aucune gagnante » (X=0X = 0). On écrit donc : P(X⩾1)=1−P(X=0).P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0). C'est bien plus rapide que d'additionner les cas X=1,2,3,4,5X = 1, 2, 3, 4, 5.

  3. 3. Calculer P(X = 0)

    Avec la formule binomiale et k=0k = 0 : P(X=0)=(50) (0,2)0 (0,8)5.P(X = 0) = \dbinom{5}{0}\,(0{,}2)^{0}\,(0{,}8)^{5}. Or (50)=1\dbinom{5}{0} = 1 et (0,2)0=1(0{,}2)^{0} = 1, donc P(X=0)=(0,8)5P(X = 0) = (0{,}8)^{5}. On calcule la puissance : (0,8)5=0,8×0,8×0,8×0,8×0,8=0,32768.(0{,}8)^{5} = 0{,}8 \times 0{,}8 \times 0{,}8 \times 0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}32768.

  4. 4. Conclure

    On en déduit : P(X⩾1)=1−0,32768=0,67232≈0,672.P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}32768 = 0{,}67232 \approx 0{,}672. La probabilité d'obtenir au moins une boule gagnante est donc d'environ 0,6720{,}672, soit près de 67 %67\,\%.
Réponse finale
P(X⩾1)=1−(0,8)5=0,67232≈0,672P(X \geqslant 1) = 1 - (0{,}8)^{5} = 0{,}67232 \approx 0{,}672
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