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Rêves Vision
Première

Calculer P(X = k) avec une loi binomiale

Énoncé

On lance 44 fois une pièce de monnaie équilibrée. On note XX le nombre de « pile » obtenus. La variable XX suit la loi binomiale B(4 ; 0,5)\mathcal{B}(4\,;\,0{,}5).

Calculer la probabilité d'obtenir exactement 22 « pile », c'est-à-dire P(X=2)P(X = 2).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Écrire la formule

    Pour une loi binomiale B(n ; p)\mathcal{B}(n\,;\,p), on a P(X=k)=(nk) pk (1−p)n−kP(X = k) = \dbinom{n}{k}\, p^{k}\,(1 - p)^{n - k}. Ici n=4n = 4, p=0,5p = 0{,}5 et k=2k = 2 : P(X=2)=(42) (0,5)2 (0,5)2.P(X = 2) = \dbinom{4}{2}\, (0{,}5)^{2}\,(0{,}5)^{2}.

  2. 2. Calculer le coefficient binomial

    (42)=4×32×1=122=6.\dbinom{4}{2} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = \dfrac{12}{2} = 6. Il y a donc 66 chemins donnant 22 « pile » et 22 « face ».

  3. 3. Calculer les puissances

    Comme p=1−p=0,5p = 1 - p = 0{,}5, le produit des puissances vaut (0,5)2×(0,5)2=(0,5)4(0{,}5)^{2} \times (0{,}5)^{2} = (0{,}5)^{4}. Or (0,5)4=0,5×0,5×0,5×0,5=0,0625.(0{,}5)^{4} = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}0625.

  4. 4. Conclure

    On rassemble les facteurs : P(X=2)=6×0,0625=0,375.P(X = 2) = 6 \times 0{,}0625 = 0{,}375. La probabilité d'obtenir exactement 22 « pile » est donc 0,3750{,}375, soit 37,5 %37{,}5\,\%.
Réponse finale
P(X=2)=6×(0,5)4=0,375P(X = 2) = 6 \times (0{,}5)^{4} = 0{,}375
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