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Rêves Vision
Première

Retrouver le nombre d'épreuves à partir de l'espérance

Énoncé

Karim revend des paires de sneakers. Chaque paire mise en vente est revendue avec bénéfice, indépendamment des autres, avec une probabilité p=0,4p = 0{,}4. S'il met nn paires en vente, le nombre XX de paires revendues avec bénéfice suit la loi binomiale B(n ; 0,4)\mathcal{B}(n\,;\,0{,}4).

Karim souhaite revendre en moyenne 66 paires avec bénéfice. Déterminer le nombre nn de paires qu'il doit mettre en vente.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Traduire l'objectif avec l'espérance

    Le nombre moyen de paires revendues avec bénéfice est l'espérance de XX. Pour une loi binomiale B(n ; p)\mathcal{B}(n\,;\,p), on a E(X)=n pE(X) = n\,p. Ici p=0,4p = 0{,}4, donc E(X)=0,4 nE(X) = 0{,}4\,n. La condition « en moyenne 66 paires » s'écrit donc 0,4 n=6.0{,}4\,n = 6.

  2. 2. Résoudre l'équation

    On isole nn en divisant par 0,40{,}4 : n=60,4.n = \dfrac{6}{0{,}4}. Pour calculer cette fraction, on multiplie le numérateur et le dénominateur par 1010 : n=6×100,4×10=604=15.n = \dfrac{6 \times 10}{0{,}4 \times 10} = \dfrac{60}{4} = 15.

  3. 3. Vérifier et conclure

    On vérifie : avec n=15n = 15, E(X)=15×0,4=6E(X) = 15 \times 0{,}4 = 6, ce qui correspond bien à l'objectif. Karim doit donc mettre en vente 1515 paires de sneakers pour en revendre en moyenne 66 avec bénéfice.
Réponse finale
n=60,4=15 pairesn = \dfrac{6}{0{,}4} = 15\ \text{paires}
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