Aller au contenu
Rêves Vision
Première

Probabilité d'objets rares dans des packs (gaming)

Énoncé

Dans le jeu EA FC, chaque ouverture de pack contient indépendamment un joueur rare avec une probabilité p=0,1p = 0{,}1. Léa ouvre 55 packs identiques et note XX le nombre de joueurs rares obtenus. La variable XX suit la loi binomiale B(5 ; 0,1)\mathcal{B}(5\,;\,0{,}1).

Calculer la probabilité d'obtenir exactement 22 joueurs rares, c'est-à-dire P(X=2)P(X = 2).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Écrire la formule

    Pour une loi binomiale B(n ; p)\mathcal{B}(n\,;\,p), on a P(X=k)=(nk) pk (1−p)n−kP(X = k) = \dbinom{n}{k}\, p^{k}\,(1 - p)^{n - k}. Ici n=5n = 5, p=0,1p = 0{,}1, 1−p=0,91 - p = 0{,}9 et k=2k = 2, donc P(X=2)=(52) (0,1)2 (0,9)3.P(X = 2) = \dbinom{5}{2}\,(0{,}1)^{2}\,(0{,}9)^{3}.

  2. 2. Calculer le coefficient binomial

    Le coefficient (52)\dbinom{5}{2} se calcule comme un produit de 22 facteurs décroissants à partir de 55, divisé par 2!2! : (52)=5×42×1=202=10.\dbinom{5}{2} = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = \dfrac{20}{2} = 10. Il y a donc 1010 chemins donnant 22 joueurs rares et 33 packs sans joueur rare.

  3. 3. Calculer les puissances

    On calcule séparément chaque puissance : (0,1)2=0,01(0{,}1)^{2} = 0{,}01 pour les 22 succès, et (0,9)3=0,9×0,9×0,9=0,729(0{,}9)^{3} = 0{,}9 \times 0{,}9 \times 0{,}9 = 0{,}729 pour les 33 échecs. Leur produit vaut donc 0,01×0,729=0,00729.0{,}01 \times 0{,}729 = 0{,}00729.

  4. 4. Conclure

    On rassemble les trois facteurs : P(X=2)=10×0,00729=0,0729.P(X = 2) = 10 \times 0{,}00729 = 0{,}0729. La probabilité d'obtenir exactement 22 joueurs rares est donc 0,07290{,}0729, soit environ 7,3 %7{,}3\,\%.
Réponse finale
P(X=2)=(52) (0,1)2 (0,9)3=0,0729P(X = 2) = \dbinom{5}{2}\,(0{,}1)^{2}\,(0{,}9)^{3} = 0{,}0729
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Schéma de Bernoulli et loi binomiale ← Retour au cours

À suivre