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Rêves Vision
Première

Vidéos virales d'un créateur (problème complet)

Énoncé

Inès publie 66 vidéos sur TikTok pendant une semaine. On admet que chaque vidéo dépasse les 10 00010\,000 vues, indépendamment des autres, avec une probabilité p=0,25p = 0{,}25. On note XX le nombre de vidéos qui dépassent ce seuil parmi les 66.

1. Justifier que XX suit une loi binomiale, préciser ses paramètres et calculer l'espérance E(X)E(X).
2. Calculer la probabilité qu'exactement 22 vidéos dépassent le seuil, c'est-à-dire P(X=2)P(X = 2).
3. Calculer la probabilité qu'au plus une vidéo dépasse le seuil, c'est-à-dire P(X⩽1)P(X \leqslant 1).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Vérifie d'abord les trois conditions du schéma de Bernoulli (deux issues, épreuves identiques, indépendantes) puis identifie nn et pp avant d'utiliser E(X)=n pE(X) = n\,p.
  2. Pour P(X=2)P(X = 2), calcule séparément le coefficient (62)\dbinom{6}{2}, la puissance des succès (0,25)2(0{,}25)^{2} et la puissance des échecs (0,75)4(0{,}75)^{4}, puis multiplie les trois.
  3. « Au plus une » veut dire X=0X = 0 ou X=1X = 1 : calcule P(X=0)P(X = 0) et P(X=1)P(X = 1) avec la formule, puis additionne (ne confonds pas avec « au moins une » qui se traite par l'événement contraire).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître la loi et calculer l'espérance

    Pour chaque vidéo, il y a deux issues : le succès « dépasser 10 00010\,000 vues » de probabilité p=0,25p = 0{,}25, et l'échec de probabilité 1−p=0,751 - p = 0{,}75. Les 66 vidéos sont identiques (même probabilité pp) et indépendantes, donc on a un schéma de Bernoulli et X∼B(6 ; 0,25)X \sim \mathcal{B}(6\,;\,0{,}25). Son espérance vaut E(X)=n p=6×0,25=1,5.E(X) = n\,p = 6 \times 0{,}25 = 1{,}5. En moyenne, 1,51{,}5 vidéo dépasse le seuil par semaine.

  2. 2. Calculer P(X = 2)

    D'après la formule binomiale avec k=2k = 2 : P(X=2)=(62) (0,25)2 (0,75)4.P(X = 2) = \dbinom{6}{2}\,(0{,}25)^{2}\,(0{,}75)^{4}. On calcule le coefficient (62)=6×52×1=302=15\dbinom{6}{2} = \dfrac{6 \times 5}{2 \times 1} = \dfrac{30}{2} = 15, puis les puissances (0,25)2=0,0625(0{,}25)^{2} = 0{,}0625 et (0,75)4=0,31640625(0{,}75)^{4} = 0{,}31640625. Donc P(X=2)=15×0,0625×0,31640625≈0,297.P(X = 2) = 15 \times 0{,}0625 \times 0{,}31640625 \approx 0{,}297.

  3. 3. Décomposer l'événement « au plus une »

    L'événement « au plus une vidéo dépasse le seuil » signifie X=0X = 0 ou X=1X = 1. Ces deux cas étant incompatibles, on additionne leurs probabilités : P(X⩽1)=P(X=0)+P(X=1).P(X \leqslant 1) = P(X = 0) + P(X = 1).

  4. 4. Calculer P(X = 0) et P(X = 1)

    Pour k=0k = 0 : P(X=0)=(60) (0,25)0 (0,75)6=1×1×(0,75)6≈0,178P(X = 0) = \dbinom{6}{0}\,(0{,}25)^{0}\,(0{,}75)^{6} = 1 \times 1 \times (0{,}75)^{6} \approx 0{,}178, car (0,75)6=0,177978…(0{,}75)^{6} = 0{,}177978\ldots Pour k=1k = 1 : P(X=1)=(61) (0,25)1 (0,75)5=6×0,25×0,2373046875≈0,356P(X = 1) = \dbinom{6}{1}\,(0{,}25)^{1}\,(0{,}75)^{5} = 6 \times 0{,}25 \times 0{,}2373046875 \approx 0{,}356, car (0,75)5=0,237304…(0{,}75)^{5} = 0{,}237304\ldots

  5. 5. Conclure

    On additionne les deux probabilités : P(X⩽1)=0,177978…+0,355957…=0,533935…≈0,534.P(X \leqslant 1) = 0{,}177978\ldots + 0{,}355957\ldots = 0{,}533935\ldots \approx 0{,}534. Ainsi E(X)=1,5E(X) = 1{,}5 vidéo en moyenne, P(X=2)≈0,297P(X = 2) \approx 0{,}297 et la probabilité qu'au plus une vidéo dépasse le seuil est d'environ 0,5340{,}534, soit près de 53 %53\,\%.
Réponse finale
E(X)=1,5 ;P(X=2)=(62) (0,25)2 (0,75)4≈0,297 ;P(X⩽1)=(0,75)6+6×0,25×(0,75)5≈0,534E(X) = 1{,}5\ ;\quad P(X = 2) = \dbinom{6}{2}\,(0{,}25)^{2}\,(0{,}75)^{4} \approx 0{,}297\ ;\quad P(X \leqslant 1) = (0{,}75)^{6} + 6 \times 0{,}25 \times (0{,}75)^{5} \approx 0{,}534
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