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Rêves Vision
Première

Contrôle qualité : deux machines de production

Énoncé

Dans un atelier, deux machines fabriquent la même pièce. La machine AA produit 70 %70\,\% des pièces, la machine BB le reste. Parmi les pièces issues de AA, 2 %2\,\% sont défectueuses ; parmi celles issues de BB, 5 %5\,\% le sont. On prélève une pièce au hasard dans la production totale et on note DD l'événement « la pièce est défectueuse ». Calculer la probabilité P(D)P(D) qu'une pièce prélevée soit défectueuse.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Traduire l'énoncé sur un arbre pondéré

    On note AA et BB les provenances. On lit : P(A)=0,7P(A) = 0{,}7, donc P(B)=1−0,7=0,3P(B) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3. Les taux de défaut donnent les probabilités conditionnelles PA(D)=0,02P_A(D) = 0{,}02 et PB(D)=0,05P_B(D) = 0{,}05.

  2. 2. Calculer les deux chemins menant à D

    On multiplie le long de chaque branche. Chemin « machine AA et défectueuse » : P(A∩D)=P(A) PA(D)=0,7×0,02=0,014P(A \cap D) = P(A)\,P_A(D) = 0{,}7 \times 0{,}02 = 0{,}014. Chemin « machine BB et défectueuse » : P(B∩D)=P(B) PB(D)=0,3×0,05=0,015P(B \cap D) = P(B)\,P_B(D) = 0{,}3 \times 0{,}05 = 0{,}015.

  3. 3. Appliquer la formule des probabilités totales

    Une pièce défectueuse provient soit de AA, soit de BB : on additionne les deux chemins menant à DD : P(D)=P(A∩D)+P(B∩D)=0,014+0,015=0,029P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) = 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029. La production comporte donc 2,9 %2{,}9\,\% de pièces défectueuses.
Réponse finale
P(D)=0,014+0,015=0,029P(D) = 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029
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