Première · Chapitre 7

Probabilités conditionnelles : arbre pondéré, probabilités totales et indépendance

Cours complet de Première sur les probabilités conditionnelles : formule P_A(B), arbre pondéré, formule des probabilités totales et indépendance de deux événements. Avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Probabilités conditionnelles : tableaux croisés et arbres pondérés

Les probabilités conditionnelles servent à réévaluer une probabilité dès qu’une information nouvelle est connue. C’est l’outil clé pour modéliser des expériences à deux étapes : un tirage qui dépend du précédent, un test de dépistage, deux usines de production… L’arbre pondéré en est la traduction visuelle.

Probabilité conditionnelle

Soit $A$ et $B$ deux événements, avec $P(A) \neq 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ est :

$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Elle mesure la probabilité que $B$ se réalise lorsqu’on sait déjà que $A$ est réalisé.

Probabilité d'une intersection

En multipliant par $P(A)$ la définition précédente, on obtient une formule très utilisée :

$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$

C’est exactement ce qu’on calcule en multipliant le long d’une branche d’un arbre.

Règles de l'arbre pondéré

Sur un arbre pondéré :

On multiplie les probabilités rencontrées le long d’une même branche pour obtenir la probabilité du chemin correspondant.
La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à $1$ .

Ainsi, sachant $A$ , on a toujours $P_A(B) + P_A(\overline{B}) = 1$ .

Formule des probabilités totales

Comme $A$ et $\overline{A}$ partagent l’univers en deux, tout événement $B$ se décompose selon ces deux cas :

$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$

soit, en développant chaque intersection :

$P(B) = P(A)\,P_A(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)$

Sur l’arbre, cela revient à additionner les chemins qui aboutissent à $B$ .

Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque :

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Cela signifie que la réalisation de $A$ ne modifie pas la probabilité de $B$ : lorsque $P(A) \neq 0$ , on a alors $P_A(B) = P(B)$ .

Tester l'indépendance de deux événements

Calculer $P(A) \times P(B)$ .
Déterminer $P(A \cap B)$ (donné, ou lu sur un tableau / un arbre).
Comparer les deux résultats : s’ils sont égaux, $A$ et $B$ sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas.

Les pièges classiques

Ne pas confondre $P_A(B)$ (on divise par $P(A)$ ) et $P_B(A)$ (on divise par $P(B)$ ) : en général $P_A(B) \neq P_B(A)$ .
Indépendant n’est pas incompatible : deux événements incompatibles ( $A \cap B = \varnothing$ ) de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
Pour les probabilités totales, ne pas oublier le second chemin : celui qui passe par $\overline{A}$ .

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer une probabilité conditionnelle

Soit $A$ et $B$ deux événements tels que $P(A) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}1$ . Calculer la probabilité de $B$ sachant $A$ , c'est-à-dire $P_A(B)$ .

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Lire et compléter un arbre pondéré

Une urne contient des jetons. On note $A$ l'événement « le premier tirage est gagnant » avec $P(A) = 0{,}7$ . Sachant que le premier tirage est gagnant, la probabilité que le second le soit aussi (événement $B$ ) est $P_A(B) = 0{,}8$ . Compléter la branche $A \to \overline{B}$ de l'arbre, puis calculer $P(A \cap B)$ .

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Appliquer la formule des probabilités totales

Dans une expérience à deux étapes, on connaît $P(A) = 0{,}6$ , $P_A(B) = 0{,}3$ et $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}5$ . Calculer la probabilité de l'événement $B$ .

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Contrôle qualité : deux machines de production

Dans un atelier, deux machines fabriquent la même pièce. La machine $A$ produit $70\,\%$ des pièces, la machine $B$ le reste. Parmi les pièces issues de $A$ , $2\,\%$ sont défectueuses ; parmi celles issues de $B$ , $5\,\%$ le sont. On prélève une pièce au hasard dans la production totale et on note $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ». Calculer la probabilité $P(D)$ qu'une pièce prélevée soit défectueuse.

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Sondage et tableau croisé : abonnés d'un service

Un sondage porte sur $200$ personnes interrogées sur leur abonnement à un service de streaming. Les résultats sont croisés avec l'âge dans le tableau suivant.\n\n| | Abonné $(S)$ | Non abonné $(\overline{S})$ | Total |\n|---|---|---|---|\n| Moins de 30 ans $(J)$ | $84$ | $36$ | $120$ |\n| 30 ans ou plus $(\overline{J})$ | $26$ | $54$ | $80$ |\n| Total | $110$ | $90$ | $200$ |\n\nOn choisit une personne au hasard. 1) Calculer $P(S)$ . 2) Calculer $P_J(S)$ , la probabilité qu'une personne soit abonnée sachant qu'elle a moins de 30 ans. 3) Les événements $J$ et $S$ sont-ils indépendants ?

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Tester l'indépendance de deux événements

On lance un dé équilibré à six faces. Soit $A$ « obtenir un nombre pair » et $B$ « obtenir un multiple de 3 ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

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Réseau social : publications sponsorisées (problème)

Sur un réseau social, $60\,\%$ des publications proviennent de comptes certifiés (événement $C$ ), les autres de comptes non certifiés. Une publication issue d'un compte certifié est sponsorisée (événement $S$ ) avec une probabilité de $0{,}1$ ; une publication issue d'un compte non certifié l'est avec une probabilité de $0{,}25$ . On observe une publication choisie au hasard dans le fil d'actualité.\n\n1) Calculer la probabilité $P(S)$ qu'une publication soit sponsorisée.\n2) Une publication est sponsorisée. Quelle est la probabilité qu'elle provienne d'un compte certifié, c'est-à-dire $P_S(C) ?$ \n3) Les événements $C$ et $S$ sont-ils indépendants ?

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Bonus

Test de dépistage (problème)

Dans une population, $2\,\%$ des personnes sont atteintes d'une maladie ( $M$ ). On dispose d'un test : il est positif ( $T$ ) dans $95\,\%$ des cas lorsque la personne est malade, mais il est aussi positif dans $4\,\%$ des cas lorsque la personne est saine. Une personne est testée positive : quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade, c'est-à-dire $P_T(M)$  ?

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Questions fréquentes

Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

La probabilité de B sachant A se note P_A(B) et vaut P(A ∩ B) divisé par P(A), à condition que P(A) ≠ 0. Elle mesure la probabilité de B lorsqu'on sait déjà que A est réalisé.

Comment se servir d'un arbre pondéré ?

Sur un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d'une même branche pour obtenir la probabilité d'un chemin. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est toujours égale à 1.

Quand deux événements sont-ils indépendants ?

Deux événements A et B sont indépendants lorsque P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Cela signifie que la réalisation de A ne change pas la probabilité de B : on a alors P_A(B) = P(B).