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Rêves Vision
Première

Réseau social : publications sponsorisées (problème)

Énoncé

Sur un réseau social, 60 %60\,\% des publications proviennent de comptes certifiés (événement CC), les autres de comptes non certifiés. Une publication issue d'un compte certifié est sponsorisée (événement SS) avec une probabilité de 0,10{,}1 ; une publication issue d'un compte non certifié l'est avec une probabilité de 0,250{,}25. On observe une publication choisie au hasard dans le fil d'actualité.\n\n1) Calculer la probabilité P(S)P(S) qu'une publication soit sponsorisée.\n2) Une publication est sponsorisée. Quelle est la probabilité qu'elle provienne d'un compte certifié, c'est-à-dire PS(C) ?P_S(C) ?\n3) Les événements CC et SS sont-ils indépendants ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par dresser l'arbre pondéré : premier niveau CC / C‾\overline{C} avec leurs probabilités, second niveau SS / S‾\overline{S} avec les probabilités conditionnelles données.
  2. Pour la question 1, repère les deux chemins qui aboutissent à SS, multiplie le long de chacun, puis additionne-les (formule des probabilités totales).
  3. Pour la question 2, ne recalcule rien : la conditionnelle inverse est PS(C)=P(C∩S)P(S)P_S(C) = \dfrac{P(C \cap S)}{P(S)}, où le numérateur est le chemin « certifié et sponsorisé » déjà obtenu.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Construire l'arbre pondéré

    On lit : P(C)=0,6P(C) = 0{,}6, donc P(C‾)=1−0,6=0,4P(\overline{C}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4. Les probabilités conditionnelles d'être sponsorisé sont PC(S)=0,1P_C(S) = 0{,}1 et PC‾(S)=0,25P_{\overline{C}}(S) = 0{,}25.

  2. 2. 1) Probabilités totales : calculer P(S)

    On calcule d'abord les deux chemins menant à SS en multipliant le long de chaque branche : P(C∩S)=P(C) PC(S)=0,6×0,1=0,06P(C \cap S) = P(C)\,P_C(S) = 0{,}6 \times 0{,}1 = 0{,}06 et P(C‾∩S)=P(C‾) PC‾(S)=0,4×0,25=0,1P(\overline{C} \cap S) = P(\overline{C})\,P_{\overline{C}}(S) = 0{,}4 \times 0{,}25 = 0{,}1. Par la formule des probabilités totales, on additionne ces deux chemins : P(S)=0,06+0,1=0,16P(S) = 0{,}06 + 0{,}1 = 0{,}16.

  3. 3. 2) Conditionnelle inverse : remonter l'arbre

    On cherche maintenant la provenance sachant que la publication est sponsorisée : PS(C)=P(C∩S)P(S)=0,060,16=616=38=0,375P_S(C) = \dfrac{P(C \cap S)}{P(S)} = \dfrac{0{,}06}{0{,}16} = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375. Une publication sponsorisée n'a donc qu'environ 37,5 %37{,}5\,\% de chances de venir d'un compte certifié.

  4. 4. 3) Tester l'indépendance de C et S

    On compare P(C∩S)P(C \cap S) et P(C)×P(S)P(C) \times P(S). Ici P(C)×P(S)=0,6×0,16=0,096P(C) \times P(S) = 0{,}6 \times 0{,}16 = 0{,}096, tandis que P(C∩S)=0,06P(C \cap S) = 0{,}06. Comme 0,06≠0,0960{,}06 \neq 0{,}096, l'égalité n'est pas vérifiée. Les événements CC et SS ne sont pas indépendants : un compte certifié sponsorise moins souvent ses publications.
Réponse finale
P(S)=0,16;PS(C)=38=0,375;C et S ne sont pas indeˊpendantsP(S) = 0{,}16 \quad ; \quad P_S(C) = \dfrac{3}{8} = 0{,}375 \quad ; \quad C \text{ et } S \text{ ne sont pas indépendants}
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