Aller au contenu
Rêves Vision
Première Approfondissement gratuit

Test de dépistage (problème)

Énoncé

Dans une population, 2 %2\,\% des personnes sont atteintes d'une maladie (MM). On dispose d'un test : il est positif (TT) dans 95 %95\,\% des cas lorsque la personne est malade, mais il est aussi positif dans 4 %4\,\% des cas lorsque la personne est saine. Une personne est testée positive : quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade, c'est-à-dire PT(M)P_T(M) ?

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Traduire l'énoncé sur un arbre

    On lit : P(M)=0,02P(M) = 0{,}02, donc P(M‾)=0,98P(\overline{M}) = 0{,}98. La sensibilité donne PM(T)=0,95P_M(T) = 0{,}95 et le taux de faux positifs donne PM‾(T)=0,04P_{\overline{M}}(T) = 0{,}04.

  2. 2. Calculer les deux chemins menant à T

    Chemin « malade et positif » : P(M∩T)=P(M) PM(T)=0,02×0,95=0,019P(M \cap T) = P(M)\,P_M(T) = 0{,}02 \times 0{,}95 = 0{,}019. Chemin « sain et positif » : P(M‾∩T)=P(M‾) PM‾(T)=0,98×0,04=0,0392.P(\overline{M} \cap T) = P(\overline{M})\,P_{\overline{M}}(T) = 0{,}98 \times 0{,}04 = 0{,}0392.

  3. 3. Probabilité totale d'être positif

    Par la formule des probabilités totales : P(T)=P(M∩T)+P(M‾∩T)=0,019+0,0392=0,0582.P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = 0{,}019 + 0{,}0392 = 0{,}0582.

  4. 4. Remonter l'arbre (conditionnelle inverse)

    On cherche PT(M)=P(M∩T)P(T)=0,0190,0582≈0,326.P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}019}{0{,}0582} \approx 0{,}326. Bien que le test soit fiable à 95 %95\,\%, environ un tiers seulement des personnes positives sont réellement malades : c'est l'effet de la rareté de la maladie.
Réponse finale
PT(M)=0,0190,0582≈0,326P_T(M) = \dfrac{0{,}019}{0{,}0582} \approx 0{,}326
Signaler une erreur

Ta progression

Chapitre

Probabilités conditionnelles : arbre pondéré, probabilités totales et indépendance ← Retour au cours

À suivre