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Rêves Vision
Première

Aire d'un triangle rectangle par le produit scalaire

Énoncé

Une découpe au laser doit produire une plaque triangulaire ABCABC. Dans un repère orthonormé gradué en centimètres, ses sommets sont A(2 ; 1)A(2\,;\,1), B(6 ; 3)B(6\,;\,3) et C(1 ; 3)C(1\,;\,3). Démontrer que le triangle ABCABC est rectangle en AA, puis calculer son aire.
A B C
Plaque triangulaire ABC, rectangle en A
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  1. Pour montrer que l'angle est droit en AA, calcule le produit scalaire des vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} : il doit être nul.
  2. Les coordonnées d'un vecteur s'obtiennent en soustrayant : AB⃗ (xB−xA ; yB−yA).\vec{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A).
  3. L'angle droit étant en AA, les côtés [AB][AB] et [AC][AC] sont la base et la hauteur : aire =AB×AC2= \dfrac{AB \times AC}{2}, où ABAB et ACAC sont les normes de AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer les coordonnées des vecteurs issus de A

    AB⃗ (6−2 ; 3−1)=(4 ; 2)\vec{AB}\,(6 - 2\,;\,3 - 1) = (4\,;\,2) et AC⃗ (1−2 ; 3−1)=(−1 ; 2).\vec{AC}\,(1 - 2\,;\,3 - 1) = (-1\,;\,2).

  2. 2. Montrer l'angle droit avec le produit scalaire

    AB⃗⋅AC⃗=4×(−1)+2×2=−4+4=0\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = -4 + 4 = 0, donc AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} sont orthogonaux : le triangle ABCABC est rectangle en AA.

  3. 3. Calculer les longueurs des deux côtés de l'angle droit

    On utilise ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} : AB=∥AB⃗∥=42+22=20=25AB = \|\vec{AB}\| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} et AC=∥AC⃗∥=(−1)2+22=5.AC = \|\vec{AC}\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}.

  4. 4. Calculer l'aire

    Comme l'angle droit est en AA, [AB][AB] et [AC][AC] sont les deux côtés perpendiculaires : l'aire vaut AB×AC2=25×52=2×52=5.\dfrac{AB \times AC}{2} = \dfrac{2\sqrt{5} \times \sqrt{5}}{2} = \dfrac{2 \times 5}{2} = 5. Le triangle ABCABC est rectangle en AA et son aire vaut 55 cm2^{2}.
Réponse finale
AB⃗⋅AC⃗=0 et A=25×52=5 cm2\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \ \text{et} \ \mathcal{A} = \dfrac{2\sqrt{5} \times \sqrt{5}}{2} = 5 \ \text{cm}^{2}
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