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Rêves Vision
Première

Trouver l'angle entre deux vecteurs

Énoncé

Sur l'écran d'une appli de montage vidéo, deux poignées partent du même point. On les modélise par les vecteurs u⃗ (2 ; 0)\vec{u}\,(2\,;\,0) et v⃗ (3 ; 3)\vec{v}\,(3\,;\,3) dans un repère orthonormé. Déterminer la mesure de l'angle θ\theta formé par ces deux vecteurs.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer le produit scalaire avec les coordonnées

    Dans un repère orthonormé, u⃗⋅v⃗=xx′+yy′=2×3+0×3=6.\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' = 2 \times 3 + 0 \times 3 = 6.

  2. 2. Calculer les deux normes

    On applique ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} : ∥u⃗∥=22+02=4=2\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 et ∥v⃗∥=32+32=18=32.\|\vec{v}\| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.

  3. 3. Utiliser la définition pour isoler le cosinus

    D'après la définition, u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta, donc cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥×∥v⃗∥=62×32=662=12=22.\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} = \dfrac{6}{2 \times 3\sqrt{2}} = \dfrac{6}{6\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

  4. 4. Conclure

    On reconnaît la valeur remarquable cos⁡θ=22\cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, donc θ=45°\theta = 45°. L'angle entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} mesure 45°45°.
Réponse finale
cos⁡θ=22 ⇒ θ=45°\cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \Rightarrow\ \theta = 45°
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