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Rêves Vision
Première

Trouver une coordonnée pour une orthogonalité

Énoncé

Pour le logo d'une marque de sneakers, un designer veut que deux traits soient perpendiculaires. Dans un repère orthonormé, ils sont portés par u⃗ (4 ; 3)\vec{u}\,(4\,;\,3) et v⃗ (x ; 8)\vec{v}\,(x\,;\,8). Déterminer la valeur de xx pour que u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} soient orthogonaux.

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  1. 1. Traduire l'orthogonalité

    Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, donc on cherche xx tel que u⃗⋅v⃗=0.\vec{u} \cdot \vec{v} = 0.

  2. 2. Exprimer le produit scalaire

    Avec les coordonnées : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′=4×x+3×8=4x+24.\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' = 4 \times x + 3 \times 8 = 4x + 24.

  3. 3. Résoudre l'équation

    On résout 4x+24=04x + 24 = 0, d'où 4x=−244x = -24 puis x=−244=−6.x = \dfrac{-24}{4} = -6.

  4. 4. Conclure

    Pour x=−6x = -6, le produit scalaire est nul, donc les deux vecteurs sont orthogonaux. Les traits sont perpendiculaires lorsque x=−6x = -6.
Réponse finale
4x+24=0 ⇒ x=−64x + 24 = 0 \ \Rightarrow\ x = -6
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