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Rêves Vision
Première

Recherche d'un seuil : abonnés d'une application

Énoncé

Une application compte 5 0005\,000 abonnés au moment de son lancement. Grâce au bouche-à-oreille, ce nombre augmente de 12 %12\,\% chaque année. On note unu_n le nombre d'abonnés au bout de nn années, donc u0=5 000u_0 = 5\,000.

1. Justifier que (un)(u_n) est géométrique et donner sa raison qq.
2. Exprimer unu_n en fonction de nn.
3. À partir de combien d'années le nombre d'abonnés dépassera-t-il 10 00010\,000 ? Vérifier en calculant les termes encadrant ce seuil.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Augmenter de 12 %12\,\%, c'est multiplier par un coefficient : lequel ?
  2. Écris le terme général un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n}, puis teste des valeurs entières de nn avec la calculatrice.
  3. Calcule u6u_6 puis u7u_7 : repère entre quelles deux valeurs de nn la suite franchit 10 00010\,000.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Nature de la suite

    Augmenter de 12 %12\,\% revient à multiplier par 1+12100=1,121 + \dfrac{12}{100} = 1{,}12. On a donc un+1=1,12×unu_{n+1} = 1{,}12 \times u_n : la suite (un)(u_n) est geˊomeˊtrique\textbf{géométrique} de raison q=1,12q = 1{,}12 et de premier terme u0=5 000u_0 = 5\,000.

  2. 2. Terme général

    Pour une suite géométrique, un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n}, donc un=5 000×1,12 n.u_n = 5\,000 \times 1{,}12^{\,n}.

  3. 3. Encadrer le seuil

    On cherche le plus petit entier nn tel que un>10 000u_n > 10\,000. On calcule les termes successifs : u6=5 000×1,126≈9 869u_6 = 5\,000 \times 1{,}12^{6} \approx 9\,869 et u7=5 000×1,127≈11 053.u_7 = 5\,000 \times 1{,}12^{7} \approx 11\,053.

  4. 4. Conclure

    On a u6≈9 869<10 000u_6 \approx 9\,869 < 10\,000 alors que u7≈11 053>10 000u_7 \approx 11\,053 > 10\,000. C'est donc à partir de la 7e\textbf{7}^{\textbf{e}} année que le nombre d'abonnés dépasse 10 00010\,000.
Réponse finale
un=5 000×1,12 n ;le seuil de 10 000 est deˊpasseˊ aˋ partir de n=7u_n = 5\,000 \times 1{,}12^{\,n}\ ;\quad \text{le seuil de } 10\,000 \text{ est dépassé à partir de } n = 7
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