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Rêves Vision
Première

Somme de termes : salaires sur une carrière

Énoncé

Lors de sa première année dans une entreprise, une salariée gagne 24 00024\,000 € sur l'année. Son salaire annuel augmente ensuite de 900900 € chaque année. On note u1u_1 le salaire de la première année, u2u_2 celui de la deuxième, etc.

1. Justifier que (un)(u_n) est arithmétique et donner sa raison.
2. Calculer le salaire u10u_{10} de la dixième année.
3. Calculer le total SS des salaires perçus sur les 1010 premières années.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Nature de la suite

    Chaque année, on ajoute toujours le même montant 900900 € au salaire précédent : un+1=un+900u_{n+1} = u_n + 900. La suite (un)(u_n) est donc arithmeˊtique\textbf{arithmétique} de raison r=900r = 900, avec premier terme u1=24 000u_1 = 24\,000.

  2. 2. Salaire de la dixième année

    Comme la suite démarre à u1u_1, on utilise un=u1+(n−1) ru_n = u_1 + (n-1)\,r. Pour n=10n = 10 : u10=24 000+(10−1)×900=24 000+8 100=32 100u_{10} = 24\,000 + (10 - 1) \times 900 = 24\,000 + 8\,100 = 32\,100 €.

  3. 3. Total des 10 premières années

    La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut nombre de termes×(premier+dernier)2\dfrac{\text{nombre de termes} \times (\text{premier} + \text{dernier})}{2}. Ici : S=10×(u1+u10)2=10×(24 000+32 100)2=10×56 1002=280 500S = \dfrac{10 \times (u_1 + u_{10})}{2} = \dfrac{10 \times (24\,000 + 32\,100)}{2} = \dfrac{10 \times 56\,100}{2} = 280\,500 €.
Réponse finale
u10=32 100 €etS=280 500 €u_{10} = 32\,100\ \text{€} \quad\text{et}\quad S = 280\,500\ \text{€}
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