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Rêves Vision
Première

Rendre un jeu équitable

Énoncé

On lance un dé équilibré à six faces. Si le résultat est un 66, le joueur gagne gg euros ; sinon il perd 11 euro. On note XX le gain algébrique du joueur. Pour quelle valeur de gg le jeu est-il équitable ?

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Établir la loi de X

    Le dé est équilibré : P(X=g)=P(6)=16P(X = g) = P(6) = \dfrac{1}{6} et P(X=−1)=56P(X = -1) = \dfrac{5}{6} (les cinq autres faces). On vérifie : 16+56=1.\dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6} = 1.

  2. 2. Exprimer l'espérance

    E(X)=g×16+(−1)×56=g−56.E(X) = g \times \dfrac{1}{6} + (-1) \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{g - 5}{6}.

  3. 3. Traduire « jeu équitable »

    Un jeu est équitable lorsque E(X)=0E(X) = 0 : g−56=0\dfrac{g - 5}{6} = 0, soit g−5=0g - 5 = 0, donc g=5.g = 5.

  4. 4. Conclure

    Le jeu est équitable lorsque le joueur gagne 55 € en cas de 66. Pour g>5g > 5 le jeu lui serait favorable, pour g<5g < 5 défavorable.
Réponse finale
g=5 €g = 5\ \text{€}
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