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Rêves Vision
Première

Espérance de l'espace de stockage d'une vidéo

Énoncé

Sur son téléphone, Lina enregistre des vidéos pour TikTok. On note XX la taille, en Go (gigaoctets), d'une vidéo prise au hasard parmi celles de sa pellicule. La loi de probabilité de XX est :

| xix_i | 0,20{,}2 | 0,50{,}5 | 11 | 22 |
|---|---|---|---|---|
| P(X=xi)P(X=x_i) | 0,40{,}4 | 0,30{,}3 | 0,20{,}2 | 0,10{,}1 |

1. Calculer l'espérance E(X)E(X) de la taille d'une vidéo.
2. En déduire l'espace de stockage moyen occupé par 100100 vidéos.

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  1. 1. Vérifier la loi de probabilité

    La somme des probabilités vaut 0,4+0,3+0,2+0,1=10{,}4 + 0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}1 = 1 : le tableau définit donc bien une loi de probabilité.

  2. 2. Appliquer la formule de l'espérance

    On pondère chaque taille par sa probabilité, d'après E(X)=∑xi P(X=xi)E(X) = \sum x_i\, P(X=x_i) : E(X)=0,2×0,4+0,5×0,3+1×0,2+2×0,1.E(X) = 0{,}2 \times 0{,}4 + 0{,}5 \times 0{,}3 + 1 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}1.

  3. 3. Calculer l'espérance

    On effectue chaque produit puis on additionne : E(X)=0,08+0,15+0,2+0,2=0,63.E(X) = 0{,}08 + 0{,}15 + 0{,}2 + 0{,}2 = 0{,}63. Une vidéo occupe donc en moyenne 0,630{,}63 Go.

  4. 4. En déduire le stockage de 100 vidéos

    Sur un grand nombre de vidéos, chacune occupe en moyenne E(X)=0,63E(X) = 0{,}63 Go. Pour 100100 vidéos, l'espace moyen attendu est donc 100×0,63=63100 \times 0{,}63 = 63 Go. En moyenne, une vidéo pèse 0,630{,}63 Go et 100100 vidéos occupent environ 6363 Go.
Réponse finale
E(X)=0,63 Go ; soit environ 63 Go pour 100 videˊosE(X) = 0{,}63\ \text{Go ; soit environ } 63\ \text{Go pour } 100 \text{ vidéos}
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