Première · Chapitre 8

Variables aléatoires : loi de probabilité, espérance, variance et écart-type

Cours de Première sur les variables aléatoires : loi de probabilité, espérance E(X), variance V(X) et écart-type σ(X). Définitions, formules et exercices corrigés pas à pas.

8 exercices corrigés · Première générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Les probabilités

Lancer un dé, miser à un jeu de hasard, compter le nombre de succès : à chaque fois, le résultat est un nombre soumis au hasard. Pour étudier ces situations, on associe à l’expérience une variable aléatoire, puis on résume son comportement par trois indicateurs : l’espérance, la variance et l’écart-type.

Variable aléatoire

Soit une expérience aléatoire. Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe à chaque issue de l’expérience un nombre réel.

L’ensemble des valeurs prises par $X$ se note $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ .

Loi de probabilité

La loi de probabilité de $X$ associe à chaque valeur $x_i$ la probabilité $p_i = P(X = x_i)$ . On la présente souvent dans un tableau :

$x_i$	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_n$
$P(X = x_i)$	$p_1$	$p_2$	$\dots$	$p_n$

Chaque probabilité vérifie $0 \leqslant p_i \leqslant 1$ .

La somme des probabilités vaut 1

Pour toute loi de probabilité, la somme de toutes les probabilités est égale à $1$ :

$p_1 + p_2 + \dots + p_n = \sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1$

Cette égalité sert à vérifier un tableau ou à retrouver une probabilité manquante.

Espérance

L’espérance de $X$ est le nombre :

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i\, P(X = x_i) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$

C’est la valeur moyenne de $X$ que l’on obtiendrait en répétant l’expérience un très grand nombre de fois.

Variance et écart-type

La variance de $X$ mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance :

$V(X) = \sum_{i=1}^{n} \big(x_i - E(X)\big)^2 P(X = x_i)$

En pratique, on utilise plutôt la formule de König-Huygens, souvent plus rapide :

$V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 \qquad \text{où } E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2\, P(X = x_i)$

L’écart-type est la racine carrée de la variance :

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

Contrairement à la variance, l’écart-type s’exprime dans la même unité que $X$ .

Calculer E(X), V(X) et σ(X)

Dresser le tableau de la loi de probabilité et vérifier que $\sum P(X = x_i) = 1$ .
Calculer l’espérance $E(X) = \sum x_i\, P(X = x_i)$ .
Calculer $E(X^2) = \sum x_i^2\, P(X = x_i)$ .
En déduire la variance $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$ , puis l’écart-type $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .

Jeu équitable

À un jeu d’argent, on note $X$ le gain algébrique du joueur (gains comptés positivement, mises et pertes négativement). Le jeu est dit équitable lorsque :

$E(X) = 0$

Si $E(X) > 0$ , le jeu est favorable au joueur ; si $E(X) < 0$ , il lui est défavorable (et donc favorable à l’organisateur).

Les pièges classiques

L’espérance n’est pas la moyenne des $x_i$ : il faut pondérer chaque valeur par sa probabilité.
Dans la formule de König-Huygens, on calcule $E(X^2)$ avec les $x_i^2$ , pas $\big(E(X)\big)^2$ : ces deux nombres sont en général différents.
Une variance est toujours positive ( $V(X) \geqslant 0$ ) : un résultat négatif signale une erreur de calcul.
Pour le gain à un jeu, ne pas oublier de retrancher la mise lorsqu’elle est versée dans tous les cas.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer une espérance

La variable aléatoire $X$ a pour loi de probabilité :

| $x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $0{,}4$ | $0{,}3$ | $0{,}2$ | $0{,}1$ |

Calculer l'espérance $E(X)$ .

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Vérifier une loi et trouver une probabilité manquante

La variable aléatoire $X$ prend les valeurs $-1$ , $0$ , $2$ et $3$ . On connaît une partie de sa loi de probabilité :

| $x_i$ | $-1$ | $0$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $0{,}1$ | $0{,}3$ | $p$ | $0{,}2$ |

Déterminer la valeur de $p$ pour que ce tableau définisse bien une loi de probabilité.

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Calculer une variance et un écart-type

La variable aléatoire $X$ a pour loi de probabilité :

| $x_i$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $0{,}2$ | $0{,}5$ | $0{,}3$ |

Calculer la variance $V(X)$ puis l'écart-type $\sigma(X)$ .

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Espérance de l'espace de stockage d'une vidéo

Sur son téléphone, Lina enregistre des vidéos pour TikTok. On note $X$ la taille, en Go (gigaoctets), d'une vidéo prise au hasard parmi celles de sa pellicule. La loi de probabilité de $X$ est :

| $x_i$ | $0{,}2$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $0{,}4$ | $0{,}3$ | $0{,}2$ | $0{,}1$ |

1. Calculer l'espérance $E(X)$ de la taille d'une vidéo.
2. En déduire l'espace de stockage moyen occupé par $100$ vidéos.

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Rendre un jeu équitable

On lance un dé équilibré à six faces. Si le résultat est un $6$ , le joueur gagne $g$ euros ; sinon il perd $1$ euro. On note $X$ le gain algébrique du joueur. Pour quelle valeur de $g$ le jeu est-il équitable ?

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Food truck : décider avec l'espérance

Karim installe son food truck devant un stade les jours de match. Selon l'affluence, son bénéfice $X$ de la journée (en €) prend trois valeurs : $200$ € les jours de faible affluence, $350$ € les jours d'affluence moyenne et $500$ € les jours de forte affluence. D'après ses relevés, $P(X=200) = 0{,}3$ et $P(X=500) = 0{,}2$ .

Pour stationner devant le stade, Karim paie un emplacement de $300$ € par jour de match.

1. Déterminer la probabilité manquante $P(X=350)$ .
2. Calculer l'espérance $E(X)$ du bénéfice journalier.
3. En déduire si l'emplacement est rentable en moyenne pour Karim.

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Bonus

Gain moyen d'un jeu d'argent (problème)

Une fête foraine propose le jeu suivant. Le joueur verse une mise de $2$ € pour faire tourner une roue, puis reçoit un lot selon la case obtenue : un gros lot de $10$ € avec probabilité $0{,}05$ , un petit lot de $3$ € avec probabilité $0{,}25$ , et rien dans les autres cas. On note $X$ le gain algébrique du joueur (montant reçu diminué de la mise). Calculer $E(X)$ et interpréter le résultat pour le joueur.

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Marge sur la revente de sneakers : E(X), V(X) et écart-type

Inès revend des paires de sneakers en ligne. Selon la popularité du modèle, sa marge sur une paire vaut $10$ €, $20$ € ou $30$ €. Le mois dernier, sur $100$ paires vendues : $20$ ont rapporté une marge de $10$ €, $50$ une marge de $20$ € et $30$ une marge de $30$ €.

On note $X$ la marge, en €, réalisée sur une paire prise au hasard parmi ces ventes.

1. Établir la loi de probabilité de $X$ à partir de ces fréquences.
2. Calculer l'espérance $E(X)$ .
3. Calculer la variance $V(X)$ puis l'écart-type $\sigma(X)$ , et interpréter cet écart-type.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire en Première ?

Une variable aléatoire X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Sa loi de probabilité donne, pour chaque valeur possible x indice i, la probabilité P(X = x indice i) que X prenne cette valeur.

Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire ?

L'espérance se calcule avec la formule E(X) = Σ x indice i × P(X = x indice i) : on multiplie chaque valeur par sa probabilité, puis on additionne tous ces produits. Elle représente la valeur moyenne de X sur un très grand nombre de répétitions.

Quelle est la différence entre variance et écart-type ?

La variance V(X) mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance ; elle se calcule par V(X) = E(X au carré) − (E(X)) au carré. L'écart-type σ(X) = racine de V(X) est sa racine carrée : il s'exprime dans la même unité que X et se lit donc plus facilement.