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Rêves Vision
Première

Marge sur la revente de sneakers : E(X), V(X) et écart-type

Énoncé

Inès revend des paires de sneakers en ligne. Selon la popularité du modèle, sa marge sur une paire vaut 1010 €, 2020 € ou 3030 €. Le mois dernier, sur 100100 paires vendues : 2020 ont rapporté une marge de 1010 €, 5050 une marge de 2020 € et 3030 une marge de 3030 €.

On note XX la marge, en €, réalisée sur une paire prise au hasard parmi ces ventes.

1. Établir la loi de probabilité de XX à partir de ces fréquences.
2. Calculer l'espérance E(X)E(X).
3. Calculer la variance V(X)V(X) puis l'écart-type σ(X)\sigma(X), et interpréter cet écart-type.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour la loi de probabilité, transforme chaque effectif en fréquence : divise par le nombre total de paires (100100).
  2. Calcule d'abord E(X)E(X), puis E(X2)E(X^2) en pondérant cette fois les carrés 10210^2, 20220^2 et 30230^2 par leurs probabilités.
  3. Termine avec König-Huygens : V(X)=E(X2)−(E(X))2V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2, puis σ(X)=V(X)\sigma(X) = \sqrt{V(X)}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Établir la loi de probabilité

    Chaque probabilité est la fréquence correspondante : on divise chaque effectif par le total 100100. Donc P(X=10)=20100=0,2P(X=10) = \dfrac{20}{100} = 0{,}2, P(X=20)=50100=0,5P(X=20) = \dfrac{50}{100} = 0{,}5 et P(X=30)=30100=0,3P(X=30) = \dfrac{30}{100} = 0{,}3. La loi de XX est :

    | xix_i | 1010 | 2020 | 3030 |
    |---|---|---|---|
    | P(X=xi)P(X=x_i) | 0,20{,}2 | 0,50{,}5 | 0,30{,}3 |

    On vérifie : 0,2+0,5+0,3=1.0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}3 = 1.

  2. 2. Calculer l'espérance

    On pondère chaque marge par sa probabilité, d'après E(X)=∑xi P(X=xi)E(X) = \sum x_i\, P(X=x_i) : E(X)=10×0,2+20×0,5+30×0,3=2+10+9=21.E(X) = 10 \times 0{,}2 + 20 \times 0{,}5 + 30 \times 0{,}3 = 2 + 10 + 9 = 21. La marge moyenne par paire est donc de 2121 €.

  3. 3. Calculer E(X au carré)

    On pondère cette fois les carrés des marges : E(X2)=102×0,2+202×0,5+302×0,3=100×0,2+400×0,5+900×0,3=20+200+270=490.E(X^2) = 10^2 \times 0{,}2 + 20^2 \times 0{,}5 + 30^2 \times 0{,}3 = 100 \times 0{,}2 + 400 \times 0{,}5 + 900 \times 0{,}3 = 20 + 200 + 270 = 490.

  4. 4. Appliquer la formule de König-Huygens

    D'après V(X)=E(X2)−(E(X))2V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 : V(X)=490−212=490−441=49.V(X) = 490 - 21^2 = 490 - 441 = 49.

  5. 5. Calculer l'écart-type et interpréter

    L'écart-type est la racine carrée de la variance : σ(X)=V(X)=49=7.\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{49} = 7. Comme l'écart-type s'exprime dans la même unité que XX, on retient qu'autour d'une marge moyenne de 2121 €, les marges s'écartent typiquement de 77 € d'une paire à l'autre. La marge moyenne est de 2121 € par paire, avec un écart-type de 77 €.
Réponse finale
E(X)=21 €V(X)=49σ(X)=7 €E(X) = 21\ \text{€} \quad V(X) = 49 \quad \sigma(X) = 7\ \text{€}
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