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Rêves Vision
Première

Food truck : décider avec l'espérance

Énoncé

Karim installe son food truck devant un stade les jours de match. Selon l'affluence, son bénéfice XX de la journée (en €) prend trois valeurs : 200200 € les jours de faible affluence, 350350 € les jours d'affluence moyenne et 500500 € les jours de forte affluence. D'après ses relevés, P(X=200)=0,3P(X=200) = 0{,}3 et P(X=500)=0,2P(X=500) = 0{,}2.

Pour stationner devant le stade, Karim paie un emplacement de 300300 € par jour de match.

1. Déterminer la probabilité manquante P(X=350)P(X=350).
2. Calculer l'espérance E(X)E(X) du bénéfice journalier.
3. En déduire si l'emplacement est rentable en moyenne pour Karim.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La somme de toutes les probabilités d'une loi est égale à 11 : utilise cette égalité pour retrouver P(X=350)P(X=350).
  2. L'espérance n'est pas la moyenne des trois bénéfices : multiplie chaque bénéfice par sa probabilité, puis additionne.
  3. Compare ensuite le bénéfice moyen E(X)E(X) au coût fixe de l'emplacement (300300 €) : l'emplacement est rentable si E(X)E(X) dépasse ce coût.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Déterminer la probabilité manquante

    La somme des probabilités d'une loi vaut 11, donc P(X=200)+P(X=350)+P(X=500)=1P(X=200) + P(X=350) + P(X=500) = 1. D'après l'énoncé : 0,3+P(X=350)+0,2=10{,}3 + P(X=350) + 0{,}2 = 1, d'où P(X=350)=1−0,5=0,5.P(X=350) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5.

  2. 2. Écrire la loi de probabilité

    On rassemble les résultats dans un tableau :

    | xix_i | 200200 | 350350 | 500500 |
    |---|---|---|---|
    | P(X=xi)P(X=x_i) | 0,30{,}3 | 0,50{,}5 | 0,20{,}2 |

    On vérifie : 0,3+0,5+0,2=1.0{,}3 + 0{,}5 + 0{,}2 = 1.

  3. 3. Calculer l'espérance

    On pondère chaque bénéfice par sa probabilité, d'après E(X)=∑xi P(X=xi)E(X) = \sum x_i\, P(X=x_i) : E(X)=200×0,3+350×0,5+500×0,2=60+175+100=335.E(X) = 200 \times 0{,}3 + 350 \times 0{,}5 + 500 \times 0{,}2 = 60 + 175 + 100 = 335. En moyenne, Karim réalise donc un bénéfice de 335335 € par jour de match.

  4. 4. Conclure sur la rentabilité

    Le bénéfice moyen est E(X)=335E(X) = 335 € alors que l'emplacement coûte 300300 € par jour. Comme 335>300335 > 300, le bénéfice moyen dépasse le coût : sur un grand nombre de jours de match, Karim gagne en moyenne 335−300=35335 - 300 = 35 € après avoir payé l'emplacement. L'emplacement est donc rentable en moyenne pour Karim.
Réponse finale
P(X=350)=0,5E(X)=335 € : emplacement rentable car 335>300P(X=350) = 0{,}5 \quad E(X) = 335\ \text{€ : emplacement rentable car } 335 > 300
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