Quatrième · Chapitre 1

Multiplication de relatifs

Cours de Quatrième sur la multiplication et la division des nombres relatifs : règle des signes, produit, quotient, fractions relatives, priorités. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de quatrième · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Nombres relatifs

En 5e, tu as appris à additionner et soustraire les nombres relatifs (ces nombres qui peuvent être positifs ou négatifs). Cette année, on passe à la multiplication et à la division. Bonne nouvelle : tout repose sur une seule idée très simple, la règle des signes. Une fois que tu la maîtrises, multiplier $-4$ par $3$ ou diviser $-12$ par $-4$ devient un réflexe.

Ce que tu sauras faire à la fin

Je sais multiplier deux nombres relatifs avec la règle des signes.
Je sais diviser deux nombres relatifs (même règle des signes).
Je sais calculer un produit de plusieurs facteurs en repérant le signe du résultat.
Je sais faire des calculs en écriture fractionnaire avec des relatifs et simplifier.
Je sais respecter les priorités dans un enchaînement de calculs.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Tu joues et un malus te retire $6$ pièces de monnaie de jeu, et ça se répète $4$ fois de suite ? C’est une multiplication de relatifs : $4 \times (-6) = -24$ pièces. Une appli te facture $-2$ Go de data quota chaque jour pendant $5$ jours ? Encore un produit de relatifs. Dès qu’une perte se répète, ou qu’on partage une dette en parts égales, les relatifs et la règle des signes sont là. C’est aussi la base de tout le calcul que tu feras en 3e et au lycée (équations, fonctions…).

La règle des signes (multiplication)

Pour multiplier deux nombres relatifs :

deux nombres de même signe donnent un produit positif ( $+$ ) ;
deux nombres de signes contraires donnent un produit négatif ( $-$ ).

En résumé : $(+) \times (+) = (+) \qquad (-) \times (-) = (+)$ $(+) \times (-) = (-) \qquad (-) \times (+) = (-)$

Multiplier deux relatifs en 2 temps

On sépare le signe du calcul des nombres.

Je détermine le signe du résultat grâce à la règle des signes.
Je multiplie les nombres sans leur signe (leurs distances à zéro).
J’écris le résultat avec le signe trouvé à l’étape 1.

Exemple : $(-4) \times 3$ .

Signes contraires ( $-$ et $+$ ), donc le résultat sera négatif.
Calcul des nombres : $4 \times 3 = 12$ .
Donc $(-4) \times 3 = -12$ .

Autre exemple : $(-4) \times (-5)$ .

Signes identiques (deux $-$ ), donc le résultat sera positif.
Calcul : $4 \times 5 = 20$ .
Donc $(-4) \times (-5) = +20 = 20$ .

La division suit la même règle des signes

La règle des signes est exactement la même pour la division que pour la multiplication :

deux nombres de même signe donnent un quotient positif ;
deux nombres de signes contraires donnent un quotient négatif.

Par exemple : $\frac{-12}{-4} = +3 \qquad \frac{-12}{4} = -3$

Écriture fractionnaire d'un quotient

Un quotient s’écrit aussi sous forme de fraction. Le signe peut se placer devant la fraction, au numérateur ou au dénominateur, c’est le même nombre : $\frac{-12}{4} = \frac{12}{-4} = -\frac{12}{4} = -3$

Avec deux signes $-$ , les signes se « compensent » et la fraction est positive : $\frac{-12}{-4} = \frac{12}{4} = 3$

Multiplier des fractions relatives

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ; le signe est donné par la règle des signes. On simplifie à la fin (ou avant, si on repère un facteur commun).

Exemple : $-\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9}$ .

Signes contraires, donc le résultat est négatif.
$\dfrac{3 \times 8}{4 \times 9} = \dfrac{24}{36}$ .
On simplifie par $12$ : $\dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}$ .
Donc $-\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} = -\dfrac{2}{3}$ .

Signe d'un produit de plusieurs facteurs

Pour un produit de plusieurs facteurs, on compte les facteurs négatifs :

un nombre pair de facteurs négatifs $\Rightarrow$ le produit est positif ;
un nombre impair de facteurs négatifs $\Rightarrow$ le produit est négatif.

Exemple : $(-2) \times (-5) \times 3$ contient deux facteurs négatifs (nombre pair), donc le résultat est positif : il vaut $30$ .

Priorités opératoires

Dans un enchaînement de calculs, l’ordre reste celui des priorités :

d’abord les calculs entre parenthèses ;
ensuite les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
enfin les additions et les soustractions.

Par exemple, dans $-3 + 2 \times (-4)$ , on calcule d’abord $2 \times (-4) = -8$ , puis $-3 + (-8) = -11$ .

Un enchaînement complet

Calculons $-5 \times (-2) + \dfrac{-12}{4}$ .

Multiplication : $-5 \times (-2) = +10$ (signes identiques).
Division : $\dfrac{-12}{4} = -3$ (signes contraires).
Il reste l’addition : $10 + (-3) = 7$ .

Le résultat est $7$ .

Les pièges à éviter

« moins par moins, ça reste moins. » C’est FAUX. En vrai, deux signes $-$ qui se multiplient donnent un $+$ : $(-4) \times (-5) = +20$ , et non $-20$ .
Confondre $-3^2$ et $(-3)^2$ . Sans parenthèses, $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$ ; avec parenthèses, $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9$ . Les parenthèses changent tout.
Oublier le signe quand il y a plusieurs facteurs. Avant de calculer les nombres, compte d’abord les facteurs négatifs : pair $\rightarrow$ positif, impair $\rightarrow$ négatif.
Mélanger les priorités. Dans $-3 + 2 \times (-4)$ , on ne fait pas $-3 + 2$ en premier : la multiplication passe avant l’addition.

Le mémo des signes

Retiens juste : « pareils $\rightarrow$ plus, différents $\rightarrow$ moins ». Et pour un produit de plusieurs nombres, compte les $-$ : un nombre pair de $-$ s’annule (résultat $+$ ), un nombre impair laisse un $-$ . Ça marche pour la multiplication et la division.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Diviser moins 12 par moins 4

Calculer le quotient $\frac{-12}{-4}$ .

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La perte partagée sur les sneakers

Tu revends en ligne un lot de $5$ paires de sneakers identiques, mais le lot est parti à perte. Au total, le résultat de la vente est une perte de $45$ euros, ce qui se note $-45$ euros. Comme les $5$ paires se sont vendues au même prix, calcule la perte sur une seule paire en effectuant le quotient $\dfrac{-45}{5}$ .

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Multiplier moins 4 par 3

Calculer le produit $(-4) \times 3$ .

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Le malus de monnaie de jeu

Dans ton jeu en ligne, un malus retire $6$ pièces de monnaie de jeu à chaque fois qu'il se déclenche. Lors d'une partie, ce malus s'est déclenché $4$ fois de suite. Écris le calcul avec des nombres relatifs, puis indique combien de pièces ont été retirées au total.

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Le solde de la boutique en ligne

Tu gères une petite boutique en ligne. Sur une journée, tu paies d'abord un frais fixe d'hébergement de $7$ euros, compté $-7$ euros. Ensuite, $5$ clients renvoient un article et chaque retour te coûte $4$ euros, soit $-4$ euros par retour. Le solde de la journée s'écrit $-7 + 5 \times (-4).$ Calcule ce solde en respectant les priorités opératoires.

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Produit de trois nombres relatifs

Calculer le produit $(-2) \times (-5) \times 3$ .

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Enchaînement avec un carré et une division

Pour t'entraîner avant le contrôle, calcule l'expression suivante en respectant les priorités opératoires : $(-3)^{2} \times (-2) - \dfrac{-20}{4}.$

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Bonus

Produit de fractions relatives à simplifier

Calculer $-\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9}$ , puis donner le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible.

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Questions fréquentes

Quelle est la règle des signes pour multiplier deux nombres relatifs ?

Le produit de deux nombres de même signe est positif, et le produit de deux nombres de signes contraires est négatif. Par exemple, moins 4 multiplié par moins 5 donne plus 20, alors que moins 4 multiplié par 5 donne moins 20. On calcule d'abord le résultat avec les valeurs sans le signe, puis on ajoute le signe donné par la règle.

La règle des signes est-elle la même pour la division que pour la multiplication ?

Oui, exactement la même. Un quotient de deux nombres de même signe est positif, un quotient de deux nombres de signes contraires est négatif. Ainsi moins 12 divisé par moins 4 donne plus 3, et moins 12 divisé par 4 donne moins 3. Multiplication et division suivent la règle des signes identique.

Comment trouver le signe d'un produit de plusieurs facteurs ?

On compte le nombre de facteurs négatifs. Si ce nombre est pair, le produit est positif ; s'il est impair, le produit est négatif. Par exemple, moins 2 multiplié par moins 5 multiplié par 3 contient deux facteurs négatifs, donc le résultat est positif : il vaut plus 30.