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Terminale STMG

Budget publicitaire et ventes : interpolation et extrapolation

Énoncé

Le service marketing d'une marque compare son budget publicitaire xx (en milliers d'euros) et ses ventes yy (en milliers d'euros) sur 55 mois : (1 ; 55)(1\,;\,55), (2 ; 62)(2\,;\,62), (3 ; 70)(3\,;\,70), (4 ; 78)(4\,;\,78), (5 ; 85)(5\,;\,85). La calculatrice donne la droite de régression y=7,6x+47,2y = 7{,}6x + 47{,}2 (coefficients arrondis au dixième). a. Calculer les coordonnées du point moyen GG. b. Estimer les ventes pour un budget de 4,54{,}5 milliers d'euros (interpolation). c. Estimer les ventes pour un budget de 99 milliers d'euros, et indiquer pourquoi cette estimation doit être prise avec prudence.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Question a : calculer le point moyen

    Il y a n=5n = 5 couples. On calcule les deux moyennes : xˉ=1+2+3+4+55=155=3\bar{x} = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \dfrac{15}{5} = 3 et yˉ=55+62+70+78+855=3505=70.\bar{y} = \dfrac{55 + 62 + 70 + 78 + 85}{5} = \dfrac{350}{5} = 70. Le point moyen est donc G(3 ; 70).G(3\,;\,70).

  2. 2. Question b : interpoler pour $x = 4{,}5$

    La valeur x=4,5x = 4{,}5 est comprise entre 11 et 55 : c'est une interpolation. On remplace xx par 4,54{,}5 dans l'équation de la droite : y=7,6×4,5+47,2=34,2+47,2=81,4.y = 7{,}6 \times 4{,}5 + 47{,}2 = 34{,}2 + 47{,}2 = 81{,}4. On estime donc les ventes à 81,481{,}4 milliers d'euros, soit 81 40081\,400 €.

  3. 3. Question c : extrapoler pour x = 9

    On remplace cette fois xx par 99 : y=7,6×9+47,2=68,4+47,2=115,6.y = 7{,}6 \times 9 + 47{,}2 = 68{,}4 + 47{,}2 = 115{,}6. Les ventes estimées sont d'environ 115,6115{,}6 milliers d'euros.

  4. 4. Justifier la prudence

    Le budget x=9x = 9 est en dehors de la plage des budgets observés (de 11 à 55 milliers d'euros) : il s'agit donc d'une extrapolation. Rien ne garantit que les ventes continuent d'augmenter au même rythme pour un budget aussi élevé (le marché peut se saturer). L'estimation n'est qu'un ordre de grandeur.

  5. 5. Conclure

    Le point moyen est G(3 ; 70)G(3\,;\,70). Pour un budget de 4,54{,}5 milliers d'euros, les ventes estimées sont de 81,481{,}4 milliers d'euros (interpolation fiable). Pour un budget de 99 milliers d'euros, elles sont estimées à 115,6115{,}6 milliers d'euros, mais par extrapolation, donc à interpréter avec prudence.
Réponse finale
G(3 ; 70)  ;  y=7,6×4,5+47,2=81,4 (interpolation)  ;  y=7,6×9+47,2=115,6 (extrapolation, prudence)G(3\,;\,70) \;;\; y = 7{,}6 \times 4{,}5 + 47{,}2 = 81{,}4 \text{ (interpolation)} \;;\; y = 7{,}6 \times 9 + 47{,}2 = 115{,}6 \text{ (extrapolation, prudence)}
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