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Rêves Vision
Troisième

Problème de bouquets identiques chez un fleuriste (type brevet)

Énoncé

Un fleuriste dispose de 132132 roses et de 8888 tulipes. Il souhaite composer des bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs, chaque bouquet contenant le même nombre de roses et le même nombre de tulipes. 1. Quel est le nombre maximal de bouquets qu'il peut réaliser ? 2. Quelle est alors la composition de chaque bouquet ?
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  1. « Bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs » : le nombre de bouquets doit diviser 132132 ET 8888 en même temps.
  2. « Nombre maximal » : on ne cherche pas n'importe quel diviseur commun, mais le plus grand, c'est-à-dire le PGCD.
  3. Une fois le PGCD trouvé, divise chaque quantité de fleurs par ce nombre pour connaître la composition d'un bouquet.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Traduire le problème

    Le nombre de bouquets doit diviser à la fois 132132 (pour répartir toutes les roses) et 8888 (pour répartir toutes les tulipes) : c'est donc un diviseur commun à 132132 et 8888. Comme on en veut le maximum, on cherche le plus grand : le nombre de bouquets est PGCD(132 ; 88)\text{PGCD}(132\,;\,88).

  2. 2. Décomposer les deux nombres

    On décompose en facteurs premiers : 132=22×3×11132 = 2^2 \times 3 \times 11 et 88=23×11.88 = 2^3 \times 11.

  3. 3. Calculer le PGCD

    Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs, chacun affecté de son plus petit exposant. Les facteurs communs sont 22 (plus petit exposant 22) et 1111 (exposant 11) : PGCD(132 ; 88)=22×11=44.\text{PGCD}(132\,;\,88) = 2^2 \times 11 = 44.

  4. 4. Nombre maximal de bouquets

    Le fleuriste peut donc réaliser au maximum 4444 bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs.

  5. 5. Composition de chaque bouquet

    On répartit les fleurs dans les 4444 bouquets : 13244=3\dfrac{132}{44} = 3 roses par bouquet et 8844=2\dfrac{88}{44} = 2 tulipes par bouquet.

  6. 6. Conclusion

    Le fleuriste peut réaliser au maximum 4444 bouquets, chacun composé de 33 roses et 22 tulipes, soit 55 fleurs par bouquet.
Réponse finale
PGCD(132 ; 88)=44: 44 bouquets, chacun avec 3 roses et 2 tulipes.\text{PGCD}(132\,;\,88) = 44 : \text{ 44 bouquets, chacun avec 3 roses et 2 tulipes.}
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