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Troisième Approfondissement gratuit

Deux tarifs pour un club de sport (problème)

Énoncé

Un club de sport propose deux formules pour nn séances. Tarif A : 1515 € par séance, sans inscription. Tarif B : 6060 € d'inscription, puis 55 € par séance. 1) Exprimer le prix A(n)A(n) et le prix B(n)B(n) en fonction de nn. 2) Pour chaque tarif, dire s'il s'agit d'une situation de proportionnalité. 3) À partir de combien de séances le tarif B est-il plus avantageux que le tarif A ?

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Modéliser les deux tarifs

    Pour nn séances : A(n)=15 nA(n) = 15\,n (fonction linéaire) et B(n)=60+5 nB(n) = 60 + 5\,n (fonction affine), les prix étant en euros.

  2. 2. Proportionnalité ?

    AA est linéaire (A(n)=15 nA(n) = 15\,n) : le tarif A est proportionnel au nombre de séances (quotient constant 1515). BB est affine avec b=60≠0b = 60 \neq 0 : le tarif B n'est pas proportionnel. On le vérifie sur un tableau : B(1)=65B(1) = 65 et B(2)=70B(2) = 70, or 702=35≠65\dfrac{70}{2} = 35 \neq 65, donc les quotients ne sont pas constants.

  3. 3. Traduire « B plus avantageux »

    On cherche les valeurs de nn telles que B(n)<A(n)B(n) < A(n), soit 60+5 n<15 n.60 + 5\,n < 15\,n.

  4. 4. Résoudre l'inéquation

    60<15 n−5 n  ⟺  60<10 n  ⟺  n>6.60 < 15\,n - 5\,n \iff 60 < 10\,n \iff n > 6. Comme nn est un nombre entier de séances, cela donne n≥7.n \geq 7.

  5. 5. Conclure

    Le tarif B devient plus avantageux à partir de 77 séances. Vérification au point d'égalité n=6n = 6 : A(6)=15×6=90A(6) = 15 \times 6 = 90 € et B(6)=60+5×6=90B(6) = 60 + 5 \times 6 = 90 € : les deux tarifs coûtent exactement le même prix pour 66 séances. ✓
Réponse finale
A(n)=15 n,  B(n)=60+5 n    ;    B plus avantageux aˋ partir de 7 seˊancesA(n) = 15\,n, \; B(n) = 60 + 5\,n \;\;;\;\; B \text{ plus avantageux à partir de } 7 \text{ séances}
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