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Homothétie : effet sur le périmètre et l'aire

Énoncé

Un rectangle a pour dimensions une longueur L=6L = 6 cm et une largeur ℓ=4\ell = 4 cm. On lui applique une homothétie de rapport k=2,5k = 2{,}5. Déterminer le périmètre et l'aire du rectangle image, et préciser par quel facteur chacun est multiplié.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer le périmètre et l'aire de départ

    Le rectangle de départ a pour périmètre P=2×(L+ℓ)=2×(6+4)=20P = 2 \times (L + \ell) = 2 \times (6 + 4) = 20 cm, et pour aire A=L×ℓ=6×4=24\mathcal{A} = L \times \ell = 6 \times 4 = 24 cm2^2.

  2. 2. Rappeler l'effet d'une homothétie de rapport k

    Par une homothétie de rapport kk, toutes les longueurs sont multipliées par ∣k∣|k|. Il en résulte deux règles : le périmètre (une longueur) est multiplié par ∣k∣|k|, et l'aire (un produit de deux longueurs) est multipliée par k2k^2. Ici ∣k∣=2,5|k| = 2{,}5 et k2=2,52=6,25.k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25.

  3. 3. Calculer le périmètre image

    Le périmètre est multiplié par ∣k∣=2,5|k| = 2{,}5 : P′=2,5×20=50P' = 2{,}5 \times 20 = 50 cm. Le périmètre est donc multiplié par 2,52{,}5.

  4. 4. Calculer l'aire image

    L'aire est multipliée par k2=6,25k^2 = 6{,}25 : A′=6,25×24=150\mathcal{A}' = 6{,}25 \times 24 = 150 cm2^2. L'aire est donc multipliée par 6,256{,}25.

  5. 5. Vérifier directement avec les dimensions image

    Les côtés image valent L′=2,5×6=15L' = 2{,}5 \times 6 = 15 cm et ℓ′=2,5×4=10\ell' = 2{,}5 \times 4 = 10 cm. On retrouve bien P′=2×(15+10)=50P' = 2 \times (15 + 10) = 50 cm et A′=15×10=150\mathcal{A}' = 15 \times 10 = 150 cm2^2 : les résultats sont confirmés. On remarque que l'aire est multipliée par 6,256{,}25, soit bien le carré du rapport, et non par 2,52{,}5.
Réponse finale
P′=2,5×20=50 cm (× 2,5)etA′=2,52×24=150 cm2 (× 6,25)P' = 2{,}5 \times 20 = 50 \ \text{cm} \ (\times\, 2{,}5) \quad\text{et}\quad \mathcal{A}' = 2{,}5^2 \times 24 = 150 \ \text{cm}^2 \ (\times\, 6{,}25)
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