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Première pro

Le coût de la 51e unité produite

Énoncé

Un atelier de menuiserie produit des étagères. Le coût total de production, en euros, pour qq étagères est donné par C(q)=0,5q2+10q+200C(q) = 0{,}5q^2 + 10q + 200. Calcule le coût marginal de la 51e51^\text{e} étagère, c'est-à-dire le coût supplémentaire entraîné par la production de cette étagère.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La 51e51^\text{e} étagère, c'est ce que coûte le passage de 5050 à 5151 étagères : pense à une différence de deux coûts totaux.
  2. Calcule séparément C(51)C(51) puis C(50)C(50) en remplaçant qq dans C(q)=0,5q2+10q+200C(q) = 0{,}5q^2 + 10q + 200.
  3. Le coût marginal est Cm(51)=C(51)−C(50)C_m(51) = C(51) - C(50). Soustrais ton deuxième résultat au premier.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Comprendre ce qu'est le coût marginal

    Le coût marginal de la 51e51^\text{e} étagère est le coût supplémentaire pour passer de 5050 à 5151 étagères. C'est donc la différence : Cm(51)=C(51)−C(50).C_m(51) = C(51) - C(50).

  2. 2. Calculer le coût total de 51 étagères

    On remplace qq par 5151 dans la fonction de coût : C(51)=0,5×512+10×51+200.C(51) = 0{,}5 \times 51^2 + 10 \times 51 + 200. Or 512=2 60151^2 = 2\,601, donc C(51)=0,5×2 601+510+200=1 300,5+510+200=2 010,5 €.C(51) = 0{,}5 \times 2\,601 + 510 + 200 = 1\,300{,}5 + 510 + 200 = 2\,010{,}5\ \text{€}.

  3. 3. Calculer le coût total de 50 étagères

    On remplace qq par 5050 : C(50)=0,5×502+10×50+200.C(50) = 0{,}5 \times 50^2 + 10 \times 50 + 200. Or 502=2 50050^2 = 2\,500, donc C(50)=0,5×2 500+500+200=1 250+500+200=1 950 €.C(50) = 0{,}5 \times 2\,500 + 500 + 200 = 1\,250 + 500 + 200 = 1\,950\ \text{€}.

  4. 4. Soustraire pour obtenir le coût marginal

    On en déduit que Cm(51)=C(51)−C(50)=2 010,5−1 950=60,5 €.C_m(51) = C(51) - C(50) = 2\,010{,}5 - 1\,950 = 60{,}5\ \text{€}. Ce montant (60,5 €60{,}5\ \text{€}) est bien plus petit que le coût total de 5151 étagères : il représente seulement le coût de la dernière, ce qui est cohérent.

  5. 5. Conclure

    La production de la 51e étagère coûte 60,5 €60{,}5\ \text{€} supplémentaires : c'est son coût marginal.
Réponse finale
Cm(51)=C(51)−C(50)=2 010,5−1 950=60,5 €C_m(51) = C(51) - C(50) = 2\,010{,}5 - 1\,950 = 60{,}5\ \text{€}
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