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Rêves Vision
Première pro

Le loyer qui augmente chaque année

Énoncé

Pour son studio, Lina paie aujourd'hui un loyer de 480480 € par mois. Le bail prévoit une augmentation fixe de 1212 € par an. On note u0=480u_0 = 480 le loyer actuel (en euros) et unu_n le loyer au bout de nn années. 1) Exprimer unu_n en fonction de nn. 2) Calculer le loyer que Lina paiera dans 66 ans.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Repère d'abord le premier terme et la raison : le loyer de départ est u0=480u_0 = 480 et l'augmentation annuelle fixe donne la raison.
  2. La formule directe d'une suite arithmétique est un=u0+n×ru_n = u_0 + n \times r.
  3. Pour « dans 6 ans », remplace simplement nn par 66 dans l'expression un=480+12nu_n = 480 + 12n.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Reconnaître la suite arithmétique

    Chaque année, le loyer augmente du même montant : +12+12 €. On passe d'un terme au suivant en ajoutant 1212, donc la suite (un)(u_n) est arithmétique, de premier terme u0=480u_0 = 480 et de raison r=12r = 12.

  2. 2. Exprimer le terme de rang n

    On applique la formule un=u0+n×ru_n = u_0 + n \times r avec u0=480u_0 = 480 et r=12r = 12 : un=480+n×12u_n = 480 + n \times 12, c'est-à-dire un=480+12nu_n = 480 + 12n (en euros).

  3. 3. Calculer le loyer dans 6 ans

    « Dans 66 ans » correspond au rang n=6n = 6. On remplace nn par 66 dans l'expression trouvée : u6=480+12×6=480+72=552.u_6 = 480 + 12 \times 6 = 480 + 72 = 552.

  4. 4. Conclure avec l'unité

    Dans 66 ans, Lina paiera un loyer de 552552 € par mois. La raison étant positive, le loyer a bien augmenté par rapport aux 480480 € de départ : c'est cohérent. Le loyer s'exprime par un=480+12nu_n = 480 + 12n, et dans 66 ans Lina paiera 552552 € par mois.
Réponse finale
un=480+12netu6=480+12×6=552 eurosu_n = 480 + 12n \quad \text{et} \quad u_6 = 480 + 12 \times 6 = 552 \ \text{euros}
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