Première STI2D · Chapitre 1

Proportions et évolutions

Cours de Première STI2D sur les proportions et évolutions : taux d'évolution, coefficient multiplicateur, évolutions successives, taux réciproque et taux moyen. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Un rendement de panneau solaire qui grimpe, une intensité qui chute, un prix qui baisse puis remonte avec la TVA : derrière tous ces calculs se cache un seul outil, le coefficient multiplicateur. Une fois que tu sais l’utiliser, enchaîner les pourcentages, retrouver un taux moyen ou remonter à un prix initial devient automatique. C’est tout l’objet de ce chapitre.

Ce que tu sauras faire

Je sais calculer un taux d’évolution en pourcentage entre deux valeurs.
Je sais passer d’un taux à son coefficient multiplicateur $CM = 1 + t$ , et inversement.
Je sais traiter des évolutions successives en multipliant les coefficients.
Je sais déterminer un taux réciproque (pour annuler une évolution) et un taux moyen (pour répartir une évolution).
Je sais contrôler un résultat avec un ordre de grandeur.

À quoi ça sert ?

En STI2D, tu manipules sans arrêt des variations : le rendement d’un capteur qui se dégrade, une tension qui chute, un débit de données qui augmente. Savoir dire « ça a baissé de 12 % » ou « il faut +6 % par an pour rattraper le retard » est un réflexe d’ingénieur. Et quand tu vois le prix d’un drone passer de TTC à HT, ou les vues d’une vidéo exploser puis se stabiliser, c’est exactement le même calcul. Bref : un seul outil, des dizaines de situations.

1. Taux d’évolution

Taux d'évolution

Une grandeur passe d’une valeur de départ $V_D$ à une valeur d’arrivée $V_A$ . Le taux d’évolution $t$ (ou variation relative) est : $t = \frac{V_A - V_D}{V_D}.$ On l’exprime souvent en pourcentage en multipliant par $100$ .

Si $t > 0$ , c’est une hausse ;
si $t < 0$ , c’est une baisse.

Le rendement d'un panneau solaire

Le rendement d’un panneau passe de $18\,\%$ à $21\,\%$ . Le taux d’évolution de ce rendement est : $t = \frac{21 - 18}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667,$ soit une hausse d’environ $16{,}7\,\%$ .

Attention : le rendement gagne $3$ points (de $18$ à $21$ ), mais cela représente une évolution d’environ $16{,}7\,\%$ . Points et pourcentage d’évolution ne sont pas la même chose.

2. Coefficient multiplicateur

Coefficient multiplicateur

À tout taux d’évolution $t$ (écrit en valeur décimale) correspond un coefficient multiplicateur : $CM = 1 + t.$ On passe alors directement de la valeur de départ à la valeur d’arrivée : $V_A = V_D \times CM.$

Réciproquement, on retrouve le taux à partir du coefficient : $t = CM - 1.$

Hausse ou baisse : le bon coefficient

Une hausse de $t \times 100\,\%$ donne $CM = 1 + t$ (donc $CM > 1$ ). Exemple : $+8\,\% \Rightarrow CM = 1{,}08$ .
Une baisse de $t \times 100\,\%$ donne $CM = 1 - t$ (donc $0 < CM < 1$ ). Exemple : $-8\,\% \Rightarrow CM = 0{,}92$ .

Le piège du coefficient d'une baisse

Pour une baisse de $8\,\%$ , beaucoup écrivent :

FAUX : $CM = 0{,}8$ (on a confondu « baisser de $8\,\%$ » avec « il reste $80\,\%$ »).

Or baisser de $8\,\%$ , c’est garder $100\,\% - 8\,\% = 92\,\%$ de la valeur.

VRAI : $CM = 1 - 0{,}08 = 0{,}92$ .

Repère simple : une petite baisse donne un coefficient proche de $1$ (et juste en dessous), jamais $0{,}8$ .

3. Évolutions successives

On multiplie les coefficients

Lorsqu’une grandeur subit plusieurs évolutions à la suite, le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients de chaque étape : $CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \dots \times CM_n.$ Le taux d’évolution global est ensuite $t_{\text{global}} = CM_{\text{global}} - 1$ .

On n'additionne pas les pourcentages

Un abonnement augmente de $8\,\%$ puis rebaisse de $8\,\%$ . Beaucoup concluent :

FAUX : $+8\,\% - 8\,\% = 0\,\%$ , donc on revient au prix de départ.

On ne peut pas additionner des pourcentages qui portent sur des valeurs différentes. Il faut multiplier les coefficients : $CM_{\text{global}} = 1{,}08 \times 0{,}92 = 0{,}9936.$

VRAI : $t_{\text{global}} = 0{,}9936 - 1 = -0{,}0064$ , soit une baisse d’environ $0{,}64\,\%$ . Le prix final est légèrement inférieur au prix de départ.

Un capteur qui se dégrade

La précision d’un capteur perd $3\,\%$ par an. Chaque année, $CM = 0{,}97$ . Au bout de $5$ ans : $CM_{\text{global}} = 0{,}97^5 \approx 0{,}8587.$ La précision a donc globalement baissé d’environ $14{,}1\,\%$ en $5$ ans (car $0{,}8587 - 1 = -0{,}1413$ ), et non de $5 \times 3 = 15\,\%$ .

4. Taux réciproque

Taux réciproque (évolution réciproque)

Le taux réciproque est le taux qui annule une évolution : il ramène la valeur d’arrivée à la valeur de départ. Si l’évolution directe a pour coefficient $CM$ , l’évolution réciproque a pour coefficient : $CM' = \frac{1}{CM},$ et son taux est $t' = CM' - 1$ .

Annuler une hausse

Un prix a augmenté de $25\,\%$ ( $CM = 1{,}25$ ). Pour revenir au prix initial, il faut le multiplier par : $CM' = \frac{1}{1{,}25} = 0{,}8,$ soit $t' = 0{,}8 - 1 = -0{,}2$ : une baisse de $20\,\%$ (et non de $25\,\%$ ). C’est pour cela qu’une hausse puis une baisse de même pourcentage ne se compensent jamais.

5. Taux moyen

Taux moyen d'évolutions identiques

Le taux moyen $t_m$ est le taux constant qui, répété $n$ fois, produit la même évolution globale. Son coefficient $CM_m$ vérifie $CM_m^{\,n} = CM_{\text{global}}$ , donc : $CM_m = \sqrt[n]{CM_{\text{global}}} = CM_{\text{global}}^{\frac{1}{n}},$ puis $t_m = CM_m - 1$ .

Une intensité qui chute en deux paliers

Une intensité chute de $12\,\%$ au total, en deux paliers égaux. Le coefficient global est $CM_{\text{global}} = 0{,}88$ . Le coefficient de chaque palier est : $CM_m = \sqrt{0{,}88} \approx 0{,}9381,$ soit un taux par palier $t_m \approx -0{,}0619$ : chaque palier correspond à une baisse d’environ $6{,}19\,\%$ (et non $6\,\%$ ).

Le taux moyen n'est pas la moyenne des taux

Pour répartir une baisse globale de $12\,\%$ sur deux paliers :

FAUX : $\dfrac{12}{2} = 6\,\%$ par palier (on a fait la moyenne des taux).

Deux baisses de $6\,\%$ donneraient $0{,}94^2 = 0{,}8836$ , soit $-11{,}64\,\%$ : ce n’est pas $-12\,\%$ .

VRAI : on prend la racine $n$ -ième du coefficient global : $CM_m = \sqrt{0{,}88} \approx 0{,}9381$ , soit environ $-6{,}19\,\%$ par palier.

6. Ordres de grandeur

Contrôler un résultat par l'ordre de grandeur

Avant de valider un calcul, vérifie qu’il est plausible :

Une hausse doit donner $CM > 1$ et une valeur d’arrivée plus grande ; une baisse, $CM < 1$ et une valeur plus petite.
Pour de petits pourcentages, le coefficient reste proche de $1$ (par exemple $0{,}97$ ou $1{,}03$ ).
Arrondis les nombres pour estimer : $\frac{387{,}60}{1{,}02}$ est « un peu moins que $390$ », donc un résultat de $380$ est crédible, mais $38$ ou $3\,800$ serait absurde.

Cet ordre de grandeur ne remplace pas le calcul exact : il sert à repérer une grosse erreur (virgule mal placée, division au lieu d’une multiplication).

Le réflexe coefficient

Dès que tu lis « augmente de », « baisse de », « remise de », « +TVA » : traduis immédiatement en coefficient.

$+t\,\% \rightarrow \times (1 + t)$
$-t\,\% \rightarrow \times (1 - t)$
plusieurs étapes $\rightarrow$ on multiplie les coefficients
annuler $\rightarrow \times \dfrac{1}{CM}$
répartir en $n$ étapes égales $\rightarrow \times \sqrt[n]{CM}$

Avec ces cinq réflexes, presque tous les exercices de proportions se font de tête ou en deux lignes.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Bonus

Retrouver le prix hors taxes d'un drone

Un drone est vendu après une remise de $15\,\%$ sur son prix catalogue hors taxes (HT), puis application d'une TVA de $20\,\%$ . Le prix final payé en magasin (TTC) est de $387{,}60\ €$ . Retrouver le prix catalogue HT du drone, avant remise.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Comment calcule-t-on un taux d'évolution en pourcentage ?

On calcule la valeur d'arrivée moins la valeur de départ, le tout divisé par la valeur de départ, puis on multiplie par 100. Par exemple, si un rendement passe de 18 à 21, le taux vaut 21 moins 18 divisé par 18, soit environ 0,1667, c'est-à-dire une hausse d'environ 16,7 pour cent.

Qu'est-ce que le coefficient multiplicateur ?

C'est le nombre par lequel on multiplie la valeur de départ pour obtenir la valeur d'arrivée. Il est égal à 1 plus le taux écrit en valeur décimale. Une hausse de 8 pour cent donne un coefficient de 1,08 ; une baisse de 8 pour cent donne un coefficient de 0,92. Pour enchaîner plusieurs évolutions, on multiplie les coefficients entre eux.

Comment trouver le taux moyen de plusieurs évolutions identiques ?

On calcule d'abord le coefficient multiplicateur global, puis on prend sa racine n-ième, où n est le nombre d'étapes. Le taux moyen est ce coefficient moyen moins 1. C'est le taux constant qui, répété n fois, donne exactement la même évolution globale.