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Smartphone au comptant ou à crédit

Énoncé

Un smartphone coûte 600600 € au comptant. La boutique propose un crédit au taux annuel de 6 %6\,\%, remboursé en 12 mensualités constantes sur un an.

1. Calculer le taux mensuel équivalent à 6 %6\,\% annuel (arrondir à 0,0000010{,}000001 près).
2. Sachant que la mensualité constante se calcule par m=600×tm1−(1+tm)−12m = \dfrac{600 \times t_m}{1 - (1 + t_m)^{-12}}, calculer la mensualité (arrondir au centime).
3. En déduire le coût total à crédit et le surcoût par rapport à l'achat au comptant.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour le taux mensuel équivalent, pars de (1+tm)12=1,06(1 + t_m)^{12} = 1{,}06 : tmt_m est la racine douzième de 1,061{,}06, moins 1.
  2. Pour le dénominateur, remarque que (1+tm)−12(1 + t_m)^{-12} est l'inverse de (1+tm)12=1,06(1 + t_m)^{12} = 1{,}06, soit 11,06≈0,943396\frac{1}{1{,}06} \approx 0{,}943396.
  3. Une fois la mensualité trouvée (environ 51,6051{,}60 €), multiplie-la par 12 pour le coût total, puis retire les 600600 € du comptant pour le surcoût.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Définir le taux mensuel équivalent

    Le taux mensuel équivalent tmt_m vérifie (1+tm)12=1+0,06=1,06.(1 + t_m)^{12} = 1 + 0{,}06 = 1{,}06. On en déduit 1+tm=(1,06)1121 + t_m = (1{,}06)^{\frac{1}{12}}, c'est-à-dire la racine douzième de 1,061{,}06.

  2. 2. Calculer le taux mensuel équivalent

    (1,06)112≈1,004868(1{,}06)^{\frac{1}{12}} \approx 1{,}004868, donc tm≈1,004868−1=0,004868t_m \approx 1{,}004868 - 1 = 0{,}004868. Le taux mensuel équivalent est environ 0,0048680{,}004868, soit 0,49 %0{,}49\,\% par mois. (À comparer au taux proportionnel 6 %12=0,5 %\frac{6\,\%}{12} = 0{,}5\,\%, légèrement plus élevé.)

  3. 3. Calculer le dénominateur de la mensualité

    On calcule (1+tm)−12=1(1+tm)12=11,06≈0,943396.(1 + t_m)^{-12} = \dfrac{1}{(1 + t_m)^{12}} = \dfrac{1}{1{,}06} \approx 0{,}943396. Donc 1−(1+tm)−12≈1−0,943396=0,056604.1 - (1 + t_m)^{-12} \approx 1 - 0{,}943396 = 0{,}056604.

  4. 4. Calculer la mensualité

    Au numérateur : 600×tm≈600×0,004868=2,9208.600 \times t_m \approx 600 \times 0{,}004868 = 2{,}9208. Donc m≈2,92080,056604≈51,60m \approx \dfrac{2{,}9208}{0{,}056604} \approx 51{,}60 € (arrondi au centime).

  5. 5. Coût total et surcoût

    Sur un an, le client paie 12 mensualités : 12×51,60=619,2012 \times 51{,}60 = 619{,}20 €. Le surcoût par rapport au comptant est 619,20−600=19,20619{,}20 - 600 = 19{,}20 €. Le taux mensuel équivalent est d'environ 0,49 %0{,}49\,\% ; à crédit le smartphone revient à environ 619,20619{,}20 €, soit 19,2019{,}20 € de plus qu'au comptant.
Réponse finale
tm=(1,06)112−1≈0,49 %;m≈51,60 euros;couˆt aˋ creˊdit≈619,20 euros(surcouˆt≈19,20 euros)t_m = (1{,}06)^{\frac{1}{12}} - 1 \approx 0{,}49\,\% \quad ; \quad m \approx 51{,}60 \ \text{euros} \quad ; \quad \text{coût à crédit} \approx 619{,}20 \ \text{euros} \quad (\text{surcoût} \approx 19{,}20 \ \text{euros})
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