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Terminale STMG

Tangente à une courbe de coût

Énoncé

Le coût total de production, en euros, de qq articles est C(q)=0,25 q2+5q+100C(q) = 0{,}25\,q^2 + 5q + 100 pour q∈[0 ; 60]q \in [0\,;\,60]. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de CC au point d'abscisse q=20q = 20, puis interpréter son coefficient directeur.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer C(20)

    C(20)=0,25×202+5×20+100=0,25×400+100+100=100+100+100=300.C(20) = 0{,}25 \times 20^2 + 5 \times 20 + 100 = 0{,}25 \times 400 + 100 + 100 = 100 + 100 + 100 = 300. Produire 2020 articles coûte donc 300300 €.

  2. 2. Calculer la dérivée et C'(20)

    C′(q)=0,25×2q+5=0,5 q+5C'(q) = 0{,}25 \times 2q + 5 = 0{,}5\,q + 5, donc C′(20)=0,5×20+5=10+5=15.C'(20) = 0{,}5 \times 20 + 5 = 10 + 5 = 15.

  3. 3. Écrire l'équation de la tangente

    La tangente au point d'abscisse a=20a = 20 a pour équation y=C′(20)(q−20)+C(20)=15(q−20)+300.y = C'(20)(q - 20) + C(20) = 15(q - 20) + 300. En développant : y=15q−300+300=15q.y = 15q - 300 + 300 = 15q.

  4. 4. Interpréter le coefficient directeur

    Le coefficient directeur vaut C′(20)=15C'(20) = 15 : c'est le coût marginal en q=20q = 20. Au voisinage de 2020 articles, fabriquer un article de plus coûte environ 1515 €. L'équation de la tangente est donc y=15qy = 15q, de pente 1515 (coût marginal d'environ 1515 € par article).
Réponse finale
y=15q(pente 15 : couˆt marginal d’environ 15 € par article)y = 15q \quad\text{(pente } 15\text{ : coût marginal d'environ } 15 \text{ € par article)}
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